Question

Исследовать на монотонность и найти экстремумы функции: f(x)=1+4x-x^2

Answer 1

Ответ:

====================================

Пошаговое объяснение:

$f(x)=1+4x-x^2$

Найдем производную:

$f'(x)=4-2x=2(2-x)$

Приравниваем производную к 0 и находим критические точки:

$2(2-x)=0\\x=2$

Проверяем знак производной на интервалах

при х∈(-∞;2) f'(x)>0 ⇒  функция возрастает

при x∈(2;+∞) f'(x)<0 ⇒ функция убывает

++++++++2------------

Производная меняет знак с "+" на "-" ⇒ x=2 - точка max

Answer 2

Для исследования на монотонность и поиска экстремумов функции f(x) = 1 + 4x - x^2 сначала найдем ее производную и вторую производную.

Исходная функция: f(x) = 1 + 4x - x^2

1. Найдем первую производную: f'(x) = d/dx (1 + 4x - x^2) = 4 - 2x

2. Найдем вторую производную: f''(x) = d^2/dx^2 (4 - 2x) = -2

Теперь проанализируем результаты:

1. Определение монотонности: Поскольку f''(x) = -2 < 0 для всех значений x, это означает, что функция выпуклая вниз на всей области определения. Из этого следует, что функция будет монотонно убывающей на всем интервале.

2. Поиск экстремумов: Экстремумы происходят там, где производная меняет знак. Производная f'(x) = 4 - 2x меняет знак с положительного на отрицательное при x > 2. Таким образом, есть максимум при x = 2.

Подведем итоги: Функция f(x) = 1 + 4x - x^2 монотонно убывает на всем интервале (-∞, ∞), и имеет максимум на точке x = 2. Максимальное значение функции равно f(2) = 1 + 4*2 - 2^2 = 9.