Question

Найти наибольшее значение функции у=х3+3х2+3х на [−6;2]

Answer 1

Ответ:

26

Пошаговое объяснение:

$y=x^3+3x^2+3x\\y'=3x^2+6x+3\\\\3x^2+6x+3=0\\x^2+2x+1=0\\(x+1)^2=0\\x=-1$

Определим поведение функции:

y'(-2)=12-12+3=3

y'(-0)=0+0+3=3

Итого получили, что функция возрастает на всей своей области определения.

Наибольшее значение функции достигается в точке 2.

$2^3+3\times2^2+3\times2=8+12+6=26$

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции у=х^3+3х^2+3х на интервале [-6, 2], нужно найти критические точки функции и значения функции в этих точках, а также значения функции на концах интервала.

1. Найдем производную функции y по x: y' = 3x^2 + 6x + 3.

2. Решим уравнение y' = 0, чтобы найти критические точки: 3x^2 + 6x + 3 = 0.

Мы можем разделить это уравнение на 3, чтобы упростить его: x^2 + 2x + 1 = 0.

Это квадратное уравнение имеет единственный корень: (x + 1)^2 = 0.

Отсюда получаем единственную критическую точку x = -1.

3. Определим значения функции y в найденных точках: y(-6) = (-6)^3 + 3(-6)^2 + 3(-6) = -162 + 108 - 18 = -72, y(2) = (2)^3 + 3(2)^2 + 3(2) = 8 + 12 + 6 = 26, y(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) = -1 + 3 - 3 = -1.

Таким образом, у(-6) = -72, у(-1) = -1 и у(2) = 26.

Наибольшее значение функции y на интервале [-6, 2] равно 26.