Question

Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через точку М: f(x)=3x^5-2x-1; М(-1,5)

Answer 1

Для нахождения первообразной функции $f(x) = 3x^5 - 2x - 1$, график которой проходит через точку $M(-1,5)$, нам нужно найти антипроизводную данной функции. Антипроизводная (первообразная) функции $f(x)$ обозначается как $F(x)$, и она будет удовлетворять условию $F'(x) = f(x)$.

Итак, начнем с нахождения антипроизводной $F(x)$ функции $f(x)$: $F(x) = \int f(x) \, dx$

$F(x) = \int (3x^5 - 2x - 1) \, dx$

Разделим интеграл на несколько частей: $F(x) = \int 3x^5 \, dx - \int 2x \, dx - \int 1 \, dx$

Проинтегрируем каждое слагаемое: $F(x) = \frac{3}{6}x^6 - x^2 - x + C$

где $C$ - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь, учитывая условие, что график должен проходить через точку $M(-1,5)$, подставим координаты $x$ и $y$ точки $M$ в уравнение $F(x)$ и найдем значение постоянной $C$:

$5 = \frac{3}{6}(-1)^6 - (-1)^2 - (-1) + C$ $5 = \frac{3}{6} - 1 + 1 + C$ $5 = \frac{1}{2} + C$ $C = \frac{9}{2}$

Итак, у нас есть найденная константа $C = \frac{9}{2}$. Теперь мы можем записать окончательную антипроизводную $F(x)$, которая удовлетворяет условию прохождения через точку $M(-1,5)$:

$F(x) = \frac{3}{6}x^6 - x^2 - x + \frac{9}{2}$

Таким образом, антипроизводная $F(x)$, график которой проходит через точку $M(-1,5)$, равна $F(x) = \frac{3}{6}x^6 - x^2 - x + \frac{9}{2}$.