Question

Сколько целых решений имеет неравенство: │8-4х│ < 32?

Answer 1

$|8 - 4x| < 32$

Первый способ

$-32 < 8 - 4x < 32 \ \ \ | - 8$

$-40 < -4x < 24 \ \ \ | : (-4)$

$-6 < x < 10$

Второй способ

$|8 - 4x|^{2} < 32^{2}$

$(8 - 4x)^{2} < 32^{2}$

$16x^{2} - 64x + 64 < 1024$

$16x^{2} - 64x - 960 < 0 \ \ \ | : 16$

$x^{2} - 4x - 60 < 0$

$x^{2} - 4x - 60 = 0$

$x_{1} = -6; \ x_{2} = 10$

$x \in (-6; \ 10)$

Всего целых решений: $10 + 6 - 1= 15$

Ответ: 15.

Answer 2

Давайте рассмотрим неравенство │8-4х│ < 32 по отдельности для случаев, когда выражение внутри модуля положительное и когда оно отрицательное.

1. Для 8 - 4х > 0: Это неравенство выполняется, когда -4х < -8, что эквивалентно x > 2.

2. Для 8 - 4х < 0: Это неравенство выполняется, когда -4х > -8, что эквивалентно x < 2.

Итак, мы имеем два интервала, где неравенство выполняется:

• Если x > 2
• Если x < 2

Объединяя эти два интервала, получаем, что неравенство │8-4х│ < 32 выполняется для всех значений x, то есть бесконечное количество целых решений.