Question

Разложить lnx в ряд по степеням x-1

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

разложим функцию y(x)=ln x в ряд Тейлора по степеням (х-1)

само разложение ы прикрепленном файле

Answer 2

Разложение функции ln(x) в ряд Тейлора вокруг точки x = a происходит по степеням (x - a). В данном случае, a = 1, так как вы хотите разложить по степеням (x - 1).

Формула для разложения ln(x) в ряд Тейлора вокруг точки x = a:

ln(x) = ln(a) + (x - a) * f'(a) / 1! + (x - a)^2 * f''(a) / 2! + (x - a)^3 * f'''(a) / 3! + ...

Где f'(a), f''(a), f'''(a), и так далее - это производные функции ln(x) по x, вычисленные в точке a.

Для функции ln(x) производные выглядят следующим образом:

f'(x) = 1/x f''(x) = -1/x^2 f'''(x) = 2/x^3 и так далее...

Сначала вычислим производные в точке a = 1:

f'(1) = 1/1 = 1 f''(1) = -1/1^2 = -1 f'''(1) = 2/1^3 = 2 и так далее...

Теперь можем записать разложение:

ln(x) = ln(1) + (x - 1) * 1 / 1! + (x - 1)^2 * (-1) / 2! + (x - 1)^3 * 2 / 3! + ...

Учитывая, что ln(1) = 0, получаем:

ln(x) = (x - 1) - (x - 1)^2 / 2 + (x - 1)^3 / 3 - ...

Это и есть разложение ln(x) в ряд Тейлора по степеням (x - 1).