Question

В треугольнике АВС провели медиану АМ. Докажите 2АМ<АВ+АС.​

Answer 1

...........................

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся неравенством треугольника и свойством медианы.

1. По неравенству треугольника в любом треугольнике сумма длин любых двух сторон всегда больше длины третьей стороны: AB + AC > BC AB + BC > AC AC + BC > AB

2. По свойству медианы: медиана треугольника делит другую сторону пополам и создает два треугольника равной площади.

Теперь рассмотрим треугольник ABC с медианой AM:

Мы знаем, что медиана делит сторону BC пополам (то есть BM = MC).

Рассмотрим треугольники ABM и AMC:

В треугольнике ABM: AB + AM > BM (по неравенству треугольника для треугольника ABM)

В треугольнике AMC: AC + AM > MC (по неравенству треугольника для треугольника AMC)

Так как BM = MC, мы можем сложить два неравенства:

AB + AC + 2AM > BM + MC

AB + AC + 2AM > BC

Таким образом, мы получили, что:

2AM > BC - (AB + AC)

Из неравенства треугольника (BC > AB + AC) следует, что:

BC - (AB + AC) > 0

Таким образом, мы можем умножить обе стороны на положительное число:

2AM > 0

Из этого следует:

2AM > AB + AC

Что и требовалось доказать.

Таким образом, мы доказали, что 2AM < AB + AC.