Question

Найдите сумму корней уравнения 4^x-5*2^x+3=0

Answer 1

$4^x-5*2^x+3=0$

$(2^x)^2-5*2^x+3=0$

Введём замену: $2^x=t,$  $t>0$

$t^2-5t+3=0$

$D=(-5)^2-4*1*3=13$

$t_{1,2}=\frac{5б\sqrt{13} }{2}$

$2^x=\frac{5+\sqrt{13} }{2}$                  или       $2^x=\frac{5-\sqrt{13} }{2}$

$x=log_2 \frac{5+\sqrt{13} }{2}$             или        $x=log_2 \frac{5-\sqrt{13} }{2}$

$log_2 \frac{5+\sqrt{13} }{2}+log_2 \frac{5-\sqrt{13} }{2}=log_2 (\frac{5+\sqrt{13} }{2}* \frac{5-\sqrt{13} }{2})=log_2 \frac{25-13 }{2}=log_26$

Ответ: $log_26$

Answer 2

Для решения данного уравнения сначала давайте представим его в виде квадратного уравнения относительно переменной $2^x$:

$4^x - 5 \cdot 2^x + 3 = 0.$

Заметим, что $4^x = (2^x)^2$. Подставим это в уравнение:

$(2^x)^2 - 5 \cdot 2^x + 3 = 0.$

Теперь введем замену переменной: пусть $y = 2^x$. Тогда уравнение приобретет вид:

$y^2 - 5y + 3 = 0.$

Это квадратное уравнение можно решить с помощью квадратного трёхчлена, факторизации или квадратного корня. Давайте воспользуемся квадратным корнем:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},$

где в данном случае $a = 1$, $b = -5$ и $c = 3$.

$y = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$ $y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12}}{2}$ $y = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}.$

Таким образом, получаем два значения $y$:

$y_1 = \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$ и $y_2 = \frac{5 - \sqrt{13}}{2}$.

Теперь вернемся к замене переменной $y = 2^x$ и найдем значения $x$:

1. Для $y_1$: $2^x = \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$ $x = \log_2 \left(\frac{5 + \sqrt{13}}{2}\right).$

2. Для $y_2$: $2^x = \frac{5 - \sqrt{13}}{2}$ $x = \log_2 \left(\frac{5 - \sqrt{13}}{2}\right).$

Итак, сумма корней уравнения $4^x - 5 \cdot 2^x + 3 = 0$ будет:

$x_1 + x_2 = \log_2 \left(\frac{5 + \sqrt{13}}{2}\right) + \log_2 \left(\frac{5 - \sqrt{13}}{2}\right).$