Question

Составьте уравнение касательной к графику функции y = -ctg ( pi\3 - 5x ) -2, в точке с абсциссой x0= pi\30

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения уравнения касательной к графику функции в заданной точке, мы должны вычислить производную функции в этой точке и использовать её значение как угловой коэффициент касательной.

Исходная функция: $y = -\cot(\pi/3 - 5x) - 2$.

Производная функции по переменной $x$: $y' = \frac{d}{dx}\left(-\cot\left(\frac{\pi}{3} - 5x\right) - 2\right).$

Производная суммы равна сумме производных, поэтому производная второго слагаемого, равного константе -2, будет нулевой. Остается найти производную первого слагаемого.

Производная $\cot(u)$, где $u = \pi/3 - 5x$, по правилу цепочки, равна: $\frac{d}{du} \cot(u) = -\csc^2(u) \cdot \frac{du}{dx}.$

Таким образом, производная функции $y$ будет: $y' = -\csc^2\left(\frac{\pi}{3} - 5x\right) \cdot (-5) = 5\csc^2\left(5x - \frac{\pi}{3}\right).$

Теперь мы можем найти значение производной в точке $x_0 = \pi/30$: $y'_{x_0} = 5\csc^2\left(5\cdot\frac{\pi}{30} - \frac{\pi}{3}\right).$

Упростим выражение внутри синуса: $5\cdot\frac{\pi}{30} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6}.$

Теперь можно вычислить значение производной в точке: $y'_{x_0} = 5\csc^2\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 5\csc^2\frac{\pi}{6} = 5\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{20}{3}.$

Таким образом, уравнение касательной к графику функции $y = -\cot(\pi/3 - 5x) - 2$ в точке $x_0 = \pi/30$ будет: $y - y_0 = y'_{x_0} \cdot (x - x_0),$ где $y_0 = -\cot\left(\frac{\pi}{3} - 5\cdot\frac{\pi}{30}\right) - 2$ - значение функции в точке $x_0$.

Подставив все значения: $y - \left(-\cot\left(\frac{\pi}{3} - 5\cdot\frac{\pi}{30}\right) - 2\right) = \frac{20}{3} \cdot \left(x - \frac{\pi}{30}\right).$