Question

Найти объем вертикального цилиндрического тела, ограниченного снизу плоскости x o y, сверху параболоидом z=4-x^2-y^2, а с боков - плоскостями х=1, х=-1, у=1,у=-1

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Для того чтобы выяснить порядок обхода тела и перейти к повторным интегралам нужно (всё гениальное просто) понять, что это за тело. И такому пониманию во многих случаях здОрово способствуют чертёжи.

По условию тело ограничено несколькими поверхностями. С чего начать построение? Предлагаю следующий порядок действий:

Сначала изобразим параллельную ортогональную проекцию тела на координатную плоскость . Первый раз сказал, как эта проекция называется, lol =)

Коль скоро проецирование проводится вдоль оси, то в первую очередь целесообразно разобраться с поверхностями, которые параллельны данной оси. Напоминаю, что уравнения таких поверхностей не содержат буквы «зет». В рассматриваемой задаче их три:

– уравнение задаёт координатную плоскость, которая проходит через ось ;

– уравнение задаёт координатную плоскость, которая проходит через ось ;

– уравнение задаёт плоскость, проходящую через «одноимённую» «плоскую» прямую параллельно оси .

Answer 2

Для нахождения объема тела ограниченного заданными поверхностями, мы можем воспользоваться методом двойного интеграла. Общий подход состоит в том, чтобы интегрировать функцию 1 (константу) по области заданного тела. Формула для вычисления объема будет следующей:

V = ∬ E dA,

где E - область проекции тела на плоскость XY, dA - элемент площади на плоскости XY.

Проекция тела на плоскость XY ограничена кривыми x = 1, x = -1, y = 1 и y = -1. Это образует квадрат на плоскости XY.

Теперь нам нужно найти выражение для верхней поверхности тела (параболоид) в параметрической форме. Уравнение параболоида дано как z = 4 - x^2 - y^2. Подставляя x и y из параметрической формы плоскости XY, получаем:

z = 4 - x^2 - y^2, z = 4 - u^2 - v^2,

где u и v - параметры плоскости XY.

Таким образом, мы можем записать интеграл для вычисления объема:

V = ∬ E (4 - u^2 - v^2) dudv,

где интегрирование проводится по области E (квадрату на плоскости XY).

Интегрирование проводится следующим образом:

V = ∫[-1, 1] ∫[-1, 1] (4 - u^2 - v^2) dudv.

Выполняя интегрирование по переменным u и v, получаем:

V = ∫[-1, 1] [4u - (u^3)/3 - uv^2] | from -1 to 1 dv, V = ∫[-1, 1] (8 - (1/3) - v^2) dv, V = [8v - (v^3)/3 - (v^3)/3] | from -1 to 1, V = 8 - (8/3) - (8/3) - (-8 + 8/3 + 8/3), V = 16/3.

Таким образом, объем вертикального цилиндрического тела, ограниченного снизу плоскостью XY, сверху параболоидом z=4-x^2-y^2, а с боков плоскостями x=1, x=-1, y=1, y=-1, равен 16/3 единицам объема.