Question

Найдите наименьшее значение функции у = х4 – 2х2 + 3 на отрезке [–2; 2]

Answer 1

Как то так! Удачи!!!

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции $y = x^4 - 2x^2 + 3$ на отрезке $[-2, 2]$, мы должны проанализировать значения функции на границах отрезка и в критических точках внутри отрезка.

1. Границы отрезка: Подставим $x = -2$ и $x = 2$ в функцию:

   • При $x = -2$: $y = (-2)^4 - 2(-2)^2 + 3 = 16 - 8 + 3 = 11$
   • При $x = 2$: $y = 2^4 - 2 \cdot 2^2 + 3 = 16 - 8 + 3 = 11$

2. Критические точки: Для нахождения критических точек, найдем производную функции и приравняем её к нулю: $y = x^4 - 2x^2 + 3$ $y' = 4x^3 - 4x$ Приравниваем к нулю: $4x^3 - 4x = 0$ Факторизуем: $4x(x^2 - 1) = 0$ Получаем две критические точки: $x = 0$ и $x = \pm 1$.

3. Оцениваем значения функции в критических точках:

   • При $x = 0$: $y = 0^4 - 2 \cdot 0^2 + 3 = 3$
   • При $x = 1$: $y = 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$
   • При $x = -1$: $y = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$

Таким образом, наименьшее значение функции $y = x^4 - 2x^2 + 3$ на отрезке $[-2, 2]$ равно 2.