Question

Найти ''почти табличный интеграл": 1) интеграл 3^(2-11x) 2) интеграл (1+x)/(1+x^(1/3))

Answer 1

Ответ:

1. -(3²⁻¹¹ˣ)/(11㏑3)+C

2. $\frac{3x^{5/3}}{5} - \frac{3x^{4/3}}{4} + x +C$

Пошаговое объяснение:ᵃ

1.∫3²⁻¹¹ˣdx=$-\frac{1}{11}$∫3ᵃda=-(3ᵃ)/(11㏑3)+C=-(3²⁻¹¹ˣ)/(11㏑3)+C

a=2-11x

da=-11dx

2.∫$\frac{1+x}{1+x^{1/3} }$dx=∫(3a²(a³+1))/(a+1)da=3∫(a²(a³+1))/(a+1)da=3∫a²(a²-a+1)da=3∫(a⁴-a³+a²)da=3∫a⁴da-3∫a³da+3∫a²da=$\frac{3a^{5} }{5} - \frac{3a^{4} }{4} - a^{3} +C$=$\frac{3x^{5/3}}{5} - \frac{3x^{4/3}}{4} + x +C$

a=∛x

da=$\frac{1}{3x^{2/3} }$dx

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый интеграл поочередно:

1. Интеграл: ∫3^(2-11x) dx

Мы можем попробовать сделать замену переменной для данного интеграла. Пусть u = 2 - 11x, тогда du = -11 dx. Тогда, dx = -du/11. Подставляя это обратно в интеграл, получаем:

∫3^(2-11x) dx = ∫3^u * (-du/11) = (-1/11) * ∫3^u du

Теперь мы можем интегрировать функцию 3^u относительно u:

(-1/11) * ∫3^u du = (-1/11) * (3^u / ln(3)) + C

Здесь C - произвольная постоянная интегрирования. Не забудьте вернуться к исходной переменной u = 2 - 11x:

(-1/11) * (3^(2-11x) / ln(3)) + C

2. Интеграл: ∫(1+x)/(1+x^(1/3)) dx

Для данного интеграла мы можем попробовать сделать замену переменной. Пусть u = 1 + x^(1/3), тогда du = (1/3) * x^(-2/3) dx. Тогда, dx = 3 * u^3 du. Подставляя это обратно в интеграл, получаем:

∫(1+x)/(1+x^(1/3)) dx = ∫(1+u^3)/(u) * 3u^3 du = 3 * ∫(1+u^3) du

Теперь мы можем интегрировать функцию (1+u^3) относительно u:

3 * ∫(1+u^3) du = 3 * (u + (u^4)/4) + C

Здесь C - произвольная постоянная интегрирования. Не забудьте вернуться к исходной переменной u = 1 + x^(1/3):

3 * (1 + x^(1/3) + (1/4) * (1 + x^(1/3))^4) + C

Обратите внимание, что в обоих ответах использованы произвольные постоянные интегрирования (C), так как интегралы имеют вид "почти табличных интегралов", и точные значения постоянных не могут быть определены без дополнительных условий.