Question

Исследуйте функцию у=2+3х-х²​

Answer 1

Ответ:

Поимерно

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте проведем исследование функции $y = 2 + 3x - x^2$. Я расскажу вам о её основных характеристиках: область определения, область значений, поведение при изменении $x$, экстремумы, точки пересечения с осями координат и производную.

1. Область определения: Функция $y = 2 + 3x - x^2$ определена для любого значения $x$, так как квадратичный член $x^2$ не имеет ограничений в действительных числах.

2. Область значений: Чтобы определить область значений функции, мы можем проанализировать вершину параболы (видно из её отрицательного коэффициента при $x^2$). Вершина параболы будет находиться в точке, где $x$ координата вершины вычисляется по формуле $x = -\frac{b}{2a}$, где у нас $a = -1$ (коэффициент при $x^2$) и $b = 3$ (коэффициент при $x$). Получаем $x = -\frac{3}{-2} = \frac{3}{2}$. Подставляя это значение $x$ в уравнение функции, получаем соответствующее значение $y = 2 + 3 \cdot \frac{3}{2} - \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{7}{4}$. Таким образом, область значений функции - все действительные числа $y$, начиная от $-\infty$ до (\frac{7}{4}].

3. Поведение при изменении $x$: Так как у нас есть член $-x^2$ с отрицательным коэффициентом, это означает, что парабола будет открыта вниз. С ростом $x$, значение функции сначала будет увеличиваться (пока коэффициент $3x$ будет доминировать), но затем уменьшаться из-за $-x^2$.

4. Экстремумы: Поскольку парабола направлена вниз, у неё будет максимум. Максимальное значение функции достигается в точке вершины параболы ($\frac{3}{2}, \frac{7}{4}$), о которой мы говорили ранее.

5. Точки пересечения с осями координат: Чтобы найти точки пересечения с осями, нужно приравнять $y$ к нулю и решить уравнение $2 + 3x - x^2 = 0$. Это уравнение квадратичное, и его решения можно найти с помощью факторизации или квадратного корня. Получим два корня: $x = -1$ и $x = 2$, что дает нам точки пересечения с осью $x$.

6. Производная: Чтобы найти производную функции, возьмем производные от каждого члена по $x$. Получим $y' = 3 - 2x$. Это выражение представляет скорость изменения функции и позволяет найти моменты, когда она убывает или возрастает, а также моменты экстремумов.

Таким образом, функция $y = 2 + 3x - x^2$ представляет собой параболу, направленную вниз, с вершиной в точке $\left(\frac{3}{2}, \frac{7}{4}\right)$, область значений от $-\infty$ до \frac{7}{4}\], максимальное значение в вершине и точки пересечения с осями координат в \(x = -1 и $x = 2$.