Question

Дослідіть функцію і побудуйте її графік х⁴-8х²-9=0​

Answer 1

Розв'язання завдання додаю

Answer 2

Щоб дослідити функцію і побудувати її графік, ми спершу розв'яжемо рівняння $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$ щодо $x$ та знайдемо корені. Після цього ми вивчимо поведінку функції в околі цих коренів та побудуємо її графік.

1. Розв'язання рівняння: Ми можемо ввести підстановку $y = x^2$ для спрощення рівняння: $y^2 - 8y - 9 = 0$.

   Знайдемо корені цього квадратного рівняння: $y^2 - 8y - 9 = (y - 9)(y + 1) = 0.$ Звідси отримуємо два значення $y$: $y_1 = 9$ та $y_2 = -1$.

   Підставимо ці значення $y$ назад для знаходження відповідних значень $x$: Для $y = 9$: $x^2 = 9$ ⇒ $x = ±3$. Для $y = -1$: $x^2 = -1$, але це рівняння не має розв'язків у дійсних числах.

2. Поведінка функції навколо коренів: Функція $f(x) = x^4 - 8x^2 - 9$ буде додатною або від'ємною в залежності від знаку кожного з доданків. Давайте аналізуємо цей знак у трьох інтервалах: $(-∞, -3)$, $(-3, 3)$ та $(3, +∞)$.

   • В інтервалі $(-∞, -3)$: Всі доданки $x^4$, $-8x^2$ і $-9$ є позитивними, тому функція $f(x)$ буде від'ємною.
   • В інтервалі $(-3, 3)$: Перший доданок $x^4$ позитивний, другий $-8x^2$ від'ємний, а третій $-9$ від'ємний. Таким чином, функція $f(x)$ буде позитивною.
   • В інтервалі $(3, +∞)$: Всі доданки $x^4$, $-8x^2$ і $-9$ є позитивними, тому функція $f(x)$ буде від'ємною.

3. Побудова графіка: Основуючись на вищенаведеному аналізі, ми можемо побудувати графік функції $f(x) = x^4 - 8x^2 - 9$, зображаючи його як параболу, що перетинає вісь $x$ у точках $x = -3$ та $x = 3$, та розташовану вище осі $x$ на інтервалах $(-3, 3)$ і $(-\infty, -3) \cup (3, \infty)$, та нижче осі $x$ на інтервалі $(-3, 3)$.

   Графік буде симетричним відносно осі $y$, оскільки всі члени функції $f(x)$ є парними функціями.

Нехай я намалюю графік для вас:

markdownCopy code
   |
 8 |
   |                   x
   |                  /
 0 |                /
   |              /
   |            /
-8 |         x
   |       /
   |     /
-16|___/_____________________________
    -4  -2   0   2   4   6   8

Цей графік демонструє як функція $f(x) = x^4 - 8x^2 - 9$ перетинає ось $x$ у точках $-3$ та $3$, і її поведінку на різних інтервалах значень $x$.