Question

В треугольнике ABC провели медиану BM и выбрали на ней такую точку K, что AK=BC. Прямая AK пересекает сторону BC в точке D. Докажите, что DB=DK.

Answer 1

Решение на картинке.

Answer 2

Для доказательства того, что DB = DK, давайте воспользуемся геометрическими свойствами медиан треугольника.

Пусть у нас есть треугольник ABC, медиана BM и точка K, такая что AK = BC.

Так как AK = BC, мы можем сделать следующие наблюдения:

1. Так как точка K лежит на медиане BM, она делит медиану BM пополам, следовательно, BM = MK.

2. Треугольник AKD и треугольник CKB подобны (по стороне-стороне), так как у них соответствующие стороны пропорциональны. А именно, AD/CK = AK/KB = BC/KB.

3. Так как DK является продолжением стороны AD, и AD/CK = BC/KB, то DK/KB = BC/KB, следовательно, DK = BC.

Теперь давайте рассмотрим треугольник DKB. У нас есть DK = BC и KB = KB (общая сторона). По двум сторонам и углу между ними у нас есть совпадение (по теореме о равенстве треугольников), что означает, что треугольники DKB и BKC равны.

Из равенства треугольников DKB и BKC следует, что у них равны соответствующие стороны:

DB = KC.

Так как K лежит на медиане BM, KC = KB (по свойству медианы).

Итак, DB = KC = KB.

Таким образом, мы доказали, что DB = DK.