Question

Найдите обыкновенную дробь, равную периодической дроби: 0,(5)​

Answer 1

Ответ:

$\frac{5}{9}$

Answer 2

Для нахождения обыкновенной дроби, равной периодической дроби $0,(5)$, нужно представить периодическую дробь как сумму двух слагаемых: десятичной дроби до начала периода и периодической дроби. Давайте разберемся с этим.

Пусть $x = 0,(5)$. Тогда, чтобы избавиться от периода, мы можем вычесть из $x$ дробь, состоящую из периода, чтобы получить только непериодическую часть. В данном случае периодическая дробь составляет $0,5$, так как период состоит только из цифры 5.

$x = 0,(5)$ $x = 0,5 + 0,(0,5)$

Теперь давайте рассмотрим дробь $0,(0,5)$. Эта дробь также является периодической и состоит только из цифры 5.

Пусть $y = 0,(0,5)$. Тогда аналогично предыдущему шагу:

$y = 0,(0,5)$ $y = 0,5 + 0,(0,5)$

Теперь мы видим, что дроби $x$ и $y$ одинаковы:

$x = y = 0,5 + 0,(0,5)$

Теперь мы можем сделать замену:

$x = y$ $x = 0,5 + y$

Таким образом, мы получили уравнение:

$x = 0,5 + x$

Теперь выразим $x$ относительно $0,5$:

$x - x = 0,5$ $0 = 0,5$

Это противоречие. Мы видим, что такая обыкновенная дробь не существует, потому что дробь $0,5$ — это уже обыкновенная дробь, а периодическая дробь $0,(5)$ не может быть представлена в виде обыкновенной дроби.