Question

Дана трапеция с основаниями AD и BC и точка N, не лежащая в плоскости этой трапеции. Докажите, что прямая AD параллельна плоскости треугольника BCN.

Answer 1

АD║(BNC) по признаку параллельности прямой и плоскости.

Действительно,

AD║BC по опрделению трапицеии,

BC⊂(BNC), значит,

AD║(BNC). Доказано.

Answer 2

Для доказательства того, что прямая AD параллельна плоскости треугольника BCN, мы можем использовать следующее утверждение о трапеции:

Если в трапеции прямые, соединяющие середины противоположных сторон, параллельны и равны, то эти прямые параллельны плоскости трапеции.

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC. Обозначим середины сторон AB, BC и CD как P, Q и R соответственно. Таким образом, NP, NQ и NR будут соответственно медианами треугольника BCN.

Для доказательства параллельности прямой AD плоскости треугольника BCN, нам нужно показать, что NP параллельна AD и NP = AD.

1. Докажем, что NP || AD: Так как P является серединой стороны AB, то NP || AB (так как NP - медиана треугольника ABN). Однако AB || AD (по свойству трапеции), поэтому по транзитивности NP || AD.

2. Докажем, что NP = AD: Так как P - середина AB, а D и C - вершины треугольника ABC, то AD = 2AP (по свойству серединного перпендикуляра). Также NP = 2PQ (по свойству медианы). Но P и Q - середины сторон AB и BC соответственно, поэтому AP = PQ. Следовательно, AD = 2AP = 2PQ = NP.

Таким образом, мы показали, что прямая AD параллельна плоскости треугольника BCN.