Question

На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки М, К и Р так, что АМ:МВ=2:1, ВК:КС=3:2, СР:РА=3:1. Найдите площадь треугольника МКР, если площадь треугольника АВС равна 90

Answer 1

Ответ:

Площадь равна 30.

Пошаговое объяснение:

Сначала строим треугольник. Пусть MB-x, значит АМ-2х. ВК-3у, КС-2у, СР-3z, AP-z.

S = 1/2ab*sin угла.

1. S1 = 1/2*2x*z*sinA

Sabc = 1/2*3x*4z*sinA

S1/Sabc = 1/6, => S1 = 1/6Sabc, => S1 = 15

2. S2 = 1/2*x*3y*sinB

Sabc = 1/2*3x*5y*sinB

S2/Sabc = 1/5, => S2= 1/5Sabc, => S2 = 18

3. S3 = 1/2*2y*3z*sinC

Sabc = 1/2*5y*4z*sinC

S3/Sabc = 3/10, => S3 = 3/10Sabc, => S3 = 27

4. Smpk= Sabc - S1 - S2 - S3.

Smpk = 30

Answer 2

Для решения этой задачи давайте воспользуемся свойством, что отношение площадей двух треугольников, имеющих общую высоту, равно отношению длин соответствующих оснований.

Пусть $S_{\triangle ABC}$ - площадь треугольника $ABC$, а $S_{\triangle MKR}$ - площадь треугольника $MKR$. Также обозначим $x = S_{\triangle MKR} / S_{\triangle ABC}$.

Известно, что: $\frac{AM}{MV} = \frac{2}{1}, \quad \frac{BK}{KC} = \frac{3}{2}, \quad \frac{CR}{RA} = \frac{3}{1}.$

Тогда можно записать отношение площадей следующим образом: $x = \frac{S_{\triangle MKR}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{S_{\triangle AMK} + S_{\triangle BKC} + S_{\triangle CRA}}{S_{\triangle ABC}}.$

Так как площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, и высота для всех треугольников одинакова (она проведена из вершины $C$ к основанию $AB$), можно записать: $x = \frac{\frac{1}{2} \cdot AM \cdot CK + \frac{1}{2} \cdot BK \cdot CR + \frac{1}{2} \cdot RA \cdot AM}{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot CR}.$

Подставив значения отношений длин из условия ($AM/MV = 2/1$, $BK/KC = 3/2$, $CR/RA = 3/1$), получаем: $x = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} MV \cdot \frac{3}{5} KC + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} KC \cdot \frac{3}{4} RA + \frac{1}{2} \cdot RA \cdot \frac{2}{3} MV}{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot CR}.$

Упростив выражение, получим: $x = \frac{5}{9}.$

Теперь мы знаем, что площадь треугольника $MKR$ составляет $\frac{5}{9}$ от площади треугольника $ABC$, которая равна 90. Следовательно, площадь треугольника $MKR$ равна: $S_{\triangle MKR} = x \cdot S_{\triangle ABC} = \frac{5}{9} \cdot 90 = 50.$

Таким образом, площадь треугольника $MKR$ равна 50.