Question

Напишите разложение степени бинома (2х-у)^4

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

(2x-y)^4 = ((2x-y)^2)^2 = (4x^2 - 4xy + y^2)^2 = (4x^2 - 4xy + y^2)(4x^2 - 4xy + y^2) =

= 16x^4 - 16x^3y + 4x^2y^2 - 16x^3y + 16x^2y^2 - 4xy^3 + 4x^2y^2 - 4xy^3 + y^4 =

16x^4 - 32x^3y + 24x^2y^2 - 8xy^3 + y^4

Answer 2

Для разложения степени бинома $(2x - y)^4$ мы можем воспользоваться биномиальной теоремой или другими методами алгебры. Биномиальная теорема утверждает, что разложение степени бинома $(a + b)^n$ можно записать в следующем виде:

$$(a + b)^n = \binom{n}{0} a^n b^0 + \binom{n}{1} a^{n-1} b^1 + \binom{n}{2} a^{n-2} b^2 + \ldots + \binom{n}{n} a^0 b^n$$

где $\binom{n}{k}$ - это биномиальный коэффициент, равный $\frac{n!}{k! (n - k)!}$.

Применяя это к нашему случаю $(2x - y)^4$, имеем:

$$(2x - y)^4 = \binom{4}{0} (2x)^4 (-y)^0 + \binom{4}{1} (2x)^3 (-y)^1 + \binom{4}{2} (2x)^2 (-y)^2 + \binom{4}{3} (2x)^1 (-y)^3 + \binom{4}{4} (2x)^0 (-y)^4$$

Рассчитаем каждое слагаемое:

$$\begin{align*} \binom{4}{0} (2x)^4 (-y)^0 &= 1 \cdot 16x^4 \cdot 1 = 16x^4 \\ \binom{4}{1} (2x)^3 (-y)^1 &= 4 \cdot 8x^3 \cdot -y = -32x^3y \\ \binom{4}{2} (2x)^2 (-y)^2 &= 6 \cdot 4x^2 \cdot y^2 = 24x^2y^2 \\ \binom{4}{3} (2x)^1 (-y)^3 &= 4 \cdot 2x \cdot -y^3 = -8xy^3 \\ \binom{4}{4} (2x)^0 (-y)^4 &= 1 \cdot 1 \cdot y^4 = y^4 \\ \end{align*}$$

Суммируя все слагаемые, получаем разложение:

$$(2x - y)^4 = 16x^4 - 32x^3y + 24x^2y^2 - 8xy^3 + y^4$$