Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y=4x-x^2, y=5, x=0, x=3

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

      3                                                                     3

S = ∫( 5 - (4x - x^2) ) * dx = 5x - 2x^2 + 1/3 * x^3  | = 15 - 18 + 9 - 0=

     0                                                                     0

= 6 кв.ед

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной заданными линиями, нужно вычислить площадь между кривой y = 4x - x^2 и горизонтальной линией y = 5 в пределах от x = 0 до x = 3, а затем вычесть из неё площадь под кривой.

1. Найдем точки пересечения между кривой и горизонтальной линией: Подставим y = 5 в уравнение кривой: 5 = 4x - x^2. Это уравнение можно переписать в виде x^2 - 4x + 5 = 0.

Решим это квадратное уравнение для x: x^2 - 4x + 5 = 0 Дискриминант D = (-4)^2 - 4 * 1 * 5 = 16 - 20 = -4.

Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение имеет комплексные корни. Однако по условию задачи рассматривается только интервал от x = 0 до x = 3, и на этом интервале уравнение имеет только действительные корни.

2. Найденные действительные корни можно найти с помощью формулы корней квадратного уравнения: x = (-b ± √D) / 2a,

где a = 1, b = -4, D = -4.

x₁ = (-(-4) + √(-4)) / (2 * 1) = (4 + 2i) / 2 = 2 + i, x₂ = (-(-4) - √(-4)) / (2 * 1) = (4 - 2i) / 2 = 2 - i.

Оба корня не удовлетворяют условию x ∈ [0, 3], поэтому на интервале [0, 3] точек пересечения нет.

3. Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной кривой и горизонтальной линией, используя интеграл:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx,

где f(x) - верхняя функция (кривая), g(x) - нижняя функция (горизонтальная линия), [a, b] - интервал интегрирования.

В данной задаче a = 0, b = 3, f(x) = 4x - x^2, g(x) = 5.

S = ∫[0, 3] (4x - x^2 - 5) dx S = ∫[0, 3] (4x - x^2 - 5) dx S = [2x^2 - (x^3 / 3) - 5x] [0, 3] S = [(2 * 3^2 - (3^3 / 3) - 5 * 3) - (2 * 0^2 - (0^3 / 3) - 5 * 0)] S = [18 - 9 - 15] - [0 - 0 - 0] S = -6.

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривой y = 4x - x^2, горизонтальной линией y = 5, и вертикальными линиями x = 0 и x = 3, составляет -6 квадратных единиц.