Question

Найдите наименьшее значение функции y=x³+3x²-45x-2 на отрезке [0;2].

Answer 1

у(0) = -2

у(2) = 8+12-90-2=-72

у° = 3х²+6х-45 = 3*(х²+2х-15)

х²+2х-15=0

Д = 4+60=64

х1=(-2-8)/2 = -5

х2 = (-2+8)/2 = 3

это все не входит в отрезок

поэтому наиб = -2, наим = -72

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y = x³ + 3x² - 45x - 2 на отрезке [0;2] можно воспользоваться методом дифференциального исчисления. Сначала найдем производную функции и её корни на заданном интервале, чтобы найти критические точки. Затем мы проверим значения функции в этих точках и на концах интервала, чтобы найти наименьшее значение.

1. Найдем производную функции: y = x³ + 3x² - 45x - 2 y' = 3x² + 6x - 45

2. Решим уравнение y' = 0 для нахождения критических точек: 3x² + 6x - 45 = 0 x² + 2x - 15 = 0 (x + 5)(x - 3) = 0 x = -5 или x = 3

3. Проверим значения функции в критических точках и на концах интервала [0;2]:

   • Для x = -5: y = (-5)³ + 3(-5)² - 45(-5) - 2 = -128
   • Для x = 3: y = 3³ + 3(3)² - 45(3) - 2 = -20
   • Для x = 0: y = 0³ + 3(0)² - 45(0) - 2 = -2
   • Для x = 2: y = 2³ + 3(2)² - 45(2) - 2 = -36

Наименьшее значение функции на отрезке [0;2] равно -128, и оно достигается при x = -5.