Question

Найти производную частной функции у=(3х+1)/4х

Answer 1

Первый способ.

Используем правило производная частного.

$y=\frac{3x+1}{4x}\\ y'=\frac{(3x+1)'4x-(3x+1)(4x)'}{(4x)^2}=\frac{3*4x-(3x+1)*4}{16x^2}=\frac{12x-12x-4}{16x^2}=\frac{-4}{16x^2}=-\frac{1}{4x^2}$

Второй способ.

Преобразуем функцию у

$y=\frac{3x+1}{4x}\\ y=\frac{3x}{4x}+\frac{1}{4x}\\ y=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}x^{-1}\\ y'=(\frac{3}{4} )'+(\frac{1}{4}x^{-1} )'=\frac{1}{4}*(-x^{-2})=-\frac{1}{4x^2}$

Answer 2

Для нахождения производной функции $y = \frac{3x + 1}{4x}$ по переменной $x$, мы воспользуемся правилами дифференцирования. Для деления функций также используется правило: $\frac{u}{v}' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u$ и $v$ - функции от $x$, а $u'$ и $v'$ - их производные.

Давайте начнем:

1. Выразим $u$ и $v$: $u = 3x + 1$ $v = 4x$

2. Найдем производные $u'$ и $v'$: $u' = 3$ (производная константы равна нулю) $v' = 4$ (производная линейной функции $4x$)

3. Применим правило для производной частного функций:

   $$\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$
   $$\frac{d}{dx} \left( \frac{3x + 1}{4x} \right) = \frac{3 \cdot 4x - (3x + 1) \cdot 4}{(4x)^2}$$

4. Упростим числитель:

   $$\frac{12x - (12x + 4)}{16x^2} = \frac{12x - 12x - 4}{16x^2} = \frac{-4}{16x^2} = -\frac{1}{4x^2}$$

Итак, производная функции $y = \frac{3x + 1}{4x}$ по переменной $x$ равна $-\frac{1}{4x^2}$.