Question

Найти общее решение дифференциального уравнения: у′′′ + 3у′′ + 2у′ = е^х

Answer 1

Ответ:

решение на фотографиях

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение имеет вид:

у′′′ + 3у′′ + 2у′ = е^х.

Для решения этого уравнения, мы можем воспользоваться методом вариации постоянных. Предположим, что общее решение имеет вид:

у(x) = A(x)e^x + B(x)e^(-x) + C(x),

где A(x), B(x) и C(x) - функции, которые нам нужно найти.

Дифференцируем данное выражение по x:

у'(x) = A'(x)e^x + B'(x)e^(-x) + C'(x).

у''(x) = A''(x)e^x - B''(x)e^(-x) + A'(x)e^x + B'(x)e^(-x) + C''(x).

у'''(x) = A'''(x)e^x + B'''(x)e^(-x) + 2A''(x)e^x - 2B''(x)e^(-x) + A'(x)e^x + B'(x)e^(-x) + C'''(x).

Подставим эти значения в исходное уравнение:

A'''(x)e^x + B'''(x)e^(-x) + 2A''(x)e^x - 2B''(x)e^(-x) + A'(x)e^x + B'(x)e^(-x) + C'''(x)

• 3 (A''(x)e^x - B''(x)e^(-x) + A'(x)e^x + B'(x)e^(-x) + C''(x))
• 2 (A'(x)e^x + B'(x)e^(-x)) = e^x.

Упростим уравнение:

A'''(x)e^x + B'''(x)e^(-x) + 2A''(x)e^x - 2B''(x)e^(-x) + A'(x)e^x + 3A''(x)e^x - 3B''(x)e^(-x)

• 3A'(x)e^x + 3B'(x)e^(-x) + 2A'(x)e^x + 2B'(x)e^(-x) = e^x.

Теперь объединим подобные члены:

(A'''(x) + 2A''(x) + 3A'(x) + 2A'(x))e^x + (B'''(x) - 2B''(x) - 3B''(x) + 3B'(x) + 2B'(x))e^(-x)

• C'''(x) = e^x.

Следовательно, мы получили систему уравнений для функций A(x), B(x) и C(x):

A'''(x) + 2A''(x) + 3A'(x) + 2A'(x) = 1, B'''(x) - 2B''(x) - 3B''(x) + 3B'(x) + 2B'(x) = 0, C'''(x) = 0.

Итак, вам нужно решить данную систему уравнений для функций A(x), B(x) и C(x), затем подставить их в исходное выражение у(x) = A(x)e^x + B(x)e^(-x) + C(x), чтобы получить общее решение исходного дифференциального уравнения.