Question

Найти размеры замкнутой цилиндрической цистерны, объем которой известен и равен V, если площадь полной поверхности наименьшая.

Answer 1

Размеры цилиндрической цистерны с наименьшей поверхностью  даны во вложении.

Answer 2

Чтобы найти размеры замкнутой цилиндрической цистерны с известным объемом V, так чтобы площадь полной поверхности была наименьшей, мы можем использовать метод оптимизации. Перед нами стоит задача минимизации площади поверхности цилиндра при заданном объеме.

Давайте обозначим радиус цилиндра как "r", а высоту цилиндра как "h". Объем цилиндра V выражается формулой: V = πr²h.

Площадь поверхности цилиндра S состоит из трех частей: боковой поверхности, двух оснований. Формулу для площади поверхности можно записать как: S = 2πrh + 2πr².

Нам нужно минимизировать S при заданном объеме V. Для этого можно воспользоваться методом оптимизации, таким как метод множителей Лагранжа. В данном случае, наша цель - минимизировать S при ограничении V = πr²h.

Минимизация S эквивалентна минимизации 2πrh + 2πr² с учетом ограничения πr²h = V.

Подставим уравнение из ограничения в выражение для S: S = 2πrh + 2πr² = 2πr(V/πr²) + 2πr² = 2V/r + 2πr².

Чтобы найти минимум этой функции, нужно взять производную по r, приравнять ее к нулю и решить уравнение.

dS/dr = -2V/r² + 4πr

0 = -2V/r² + 4πr

2V/r² = 4πr

2V = 4πr³

r³ = V/(2π)

r = (V/(2π))^(1/3)

Теперь, зная значение r, мы можем найти значение h с помощью ограничения V = πr²h:

h = V / (πr²)

h = V / (π * (V/(2π))^(2/3))

h = 2^(2/3) * V^(1/3) / π^(1/3)

Итак, оптимальные размеры цилиндрической цистерны для минимизации площади поверхности при заданном объеме V:

Радиус: r = (V/(2π))^(1/3) Высота: h = 2^(2/3) * V^(1/3) / π^(1/3)

Эти размеры обеспечат минимальную площадь поверхности при заданном объеме V.