Question

СРОЧНО(20 балов) Знайдіть точки екстремуму функції y = 3x^2- x^3.

Answer 1

y' = 3*2x-3x²

y' = 6x-3x²

6x-3x²=0

3x * (2-x) = 0

x = 0

i

2-x=0

-x=-2

x=2

от -∞ до 0 -

от 0 до 2 +

от 2 до +∞ -

точка 0 - точка минимума

точка 2 - точка максимума

Answer 2

Щоб знайти точки екстремуму функції y = 3x^2 - x^3, спершу знайдемо її похідну та прирівняємо її до нуля, щоб знайти критичні точки. Потім визначимо характер цих точок (мінімум або максимум) за допомогою другої похідної.

1. Знаходження похідної: y = 3x^2 - x^3 y' = d/dx (3x^2 - x^3) = 6x - 3x^2

2. Знаходження критичних точок: Для знаходження критичних точок розв'яжемо рівняння y' = 0: 6x - 3x^2 = 0 3x(2 - x) = 0

   З цього рівняння отримуємо дві можливі критичні точки: x = 0 та x = 2.

3. Визначення характеру точок: Для визначення характеру точок (мінімум або максимум) використовуємо другу похідну.

   y'' = d^2/dx^2 (6x - 3x^2) = 6 - 6x

   a) Для x = 0: y''(0) = 6 - 6(0) = 6 Якщо друга похідна додатня, то це означає, що маємо мінімум в точці x = 0.

   b) Для x = 2: y''(2) = 6 - 6(2) = -6 Якщо друга похідна від'ємна, то це означає, що маємо максимум в точці x = 2.

Отже, маємо дві точки екстремуму:

1. Мінімум при x = 0.
2. Максимум при x = 2.