Question

Осевое сечение конуса – правильный треугольник. Найдите: а) площадь этого сечения, если радиус основания равен 10 см; б) объем конуса.

Answer 1

Ответ:

а) 100$\sqrt{3}$  б) $\frac{4000*\pi }{\sqrt{3} }$

Пошаговое объяснение:

Т.к. осевое сечение является правильным треугольником, а радиус основания r равен 10, значит все стороны это треугольника равны 20. Опустим высоту из вершины этого треугольника и найдем ее длину по теореме Пифагора: h=$\sqrt{20^{2} -10^{2} }$=10$\sqrt{3}$. Теперь найдем площадь треугольника, зная его высоту, а радиус основания конуса будет половиной основания этого треугольника: S=$\frac{1}{2}$hr=$\frac{1}{2}*$20*10$\sqrt{3}$=100$\sqrt{3}$

Объем конуса равен V=$\frac{4}{3}*\pi *r^{2}$*h. Радиус основания r и высота конуса h нам уже известны. Подставляем значения: V=$\frac{4}{3}*\pi *$100*10$\sqrt{3}$=$\frac{4000*\pi }{\sqrt{3} }$

Answer 2

a) Площадь осевого сечения конуса, если оно является правильным треугольником, можно найти, используя формулу для площади треугольника:

Площадь треугольника = (основание * высота) / 2.

В данном случае, основание треугольника равно длине стороны равнобедренного треугольника (так как у нас правильный треугольник), а высота будет равна радиусу конуса.

По свойствам равнобедренного треугольника, можно разделить его на два прямоугольных треугольника, в одном из которых высота будет являться биссектрисой угла между основанием и боковой стороной.

Половина основания равна половине боковой стороны треугольника, что равно радиусу конуса.

Теперь, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами r (половина основания) и h (высота):

r^2 + h^2 = a^2,

где a - длина боковой стороны треугольника.

Из свойств равнобедренного треугольника, известно, что боковая сторона равна 2a.

Подставляя значение боковой стороны в уравнение Пифагора:

r^2 + h^2 = (2a)^2, r^2 + h^2 = 4a^2, h^2 = 4a^2 - r^2, h = √(4a^2 - r^2).

Теперь мы можем найти площадь одной из половин боковой поверхности треугольника:

Площадь треугольника = (основание * высота) / 2, Площадь треугольника = (2r * h) / 2, Площадь треугольника = r * h.

Подставляя значение высоты:

Площадь треугольника = r * √(4a^2 - r^2).

Так как у нас правильный треугольник, все стороны равны, и a (боковая сторона) равна 2r (диагональ сечения конуса). Таким образом:

Площадь треугольника = r * √(4 * (2r)^2 - r^2), Площадь треугольника = r * √(16r^2 - r^2), Площадь треугольника = r * √(15r^2), Площадь треугольника = r * √15 * r, Площадь треугольника = √15 * r^2.

Подставляя значение радиуса (10 см):

Площадь треугольника = √15 * (10 см)^2, Площадь треугольника = √15 * 100 см^2, Площадь треугольника ≈ 122.47 см².

b) Объем конуса можно найти по формуле:

Объем конуса = (1/3) * π * r^2 * h,

где r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

В данном случае, высота конуса равна диагонали сечения, что равно длине боковой стороны треугольника (a = 2r). Таким образом:

h = 2r.

Подставляя значение в формулу объема:

Объем конуса = (1/3) * π * r^2 * (2r), Объем конуса = (2/3) * π * r^3.

Подставляя значение радиуса (10 см):

Объем конуса = (2/3) * π * (10 см)^3, Объем конуса = (2/3) * π * 1000 см^3, Объем конуса ≈ 2094.39 см³.

Итак, ответы: а) Площадь осевого сечения конуса равна примерно 122.47 см². б) Объем конуса равен примерно 2094.39 см³.