Question

Найти точку максимума функции у = х3- 48х+19.

Answer 1

производная: 3х²-48

3(х²-16)=0

(х-4)(х+4)=0

х=4 и х=-4

от минус бесконечности до -4 +

от -4 до 4 -

от 4 до плюс бесконечности +

точка максимума = -4

Answer 2

Для нахождения точки максимума функции $y = x^3 - 48x + 19$ нужно найти её критические точки и затем проанализировать вторую производную, чтобы определить, является ли найденная точка максимумом или минимумом.

1. Найдем первую производную функции $y$: $y' = 3x^2 - 48.$

2. Решим уравнение $y' = 0$ для нахождения критических точек: $3x^2 - 48 = 0.$ $3x^2 = 48.$ $x^2 = 16.$ $x = \pm 4.$

Таким образом, у нас есть две критические точки: $x = 4$ и $x = -4$.

3. Найдем вторую производную функции $y$: $y'' = 6x.$

4. Теперь подставим критические точки во вторую производную:

• Для $x = 4$: $y''(4) = 6 \cdot 4 = 24$, что положительно.
• Для $x = -4$: $y''(-4) = 6 \cdot (-4) = -24$, что отрицательно.

Поскольку при $x = 4$ вторая производная положительна, это означает, что точка $x = 4$ является точкой минимума. При $x = -4$ вторая производная отрицательна, что указывает на то, что точка $x = -4$ является точкой максимума.

5. Чтобы найти соответствующее значение $y$ в точке максимума ($x = -4$), подставим $x = -4$ в исходную функцию: $y = (-4)^3 - 48(-4) + 19 = -64 + 192 + 19 = 147.$

Таким образом, точка максимума функции $y = x^3 - 48x + 19$ находится в координатах $(-4, 147)$. Максимальное значение функции равно 147.