Question

Найти интервалы возрастания и убывания функции: f(x)=x^3-6x^2+9

Answer 1

f'(x) = 3x²-12x

3x²-12x=0

3x(x-4)=0

x=0

i

x=4

от -∞ до 0 возрастает

от 0 до 4 убывает

от 4 до +∞ возрастает

Answer 2

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции f(x) = x^3 - 6x^2 + 9, мы должны проанализировать её производную, чтобы определить знак производной на различных интервалах. Затем, используя информацию о знаке производной, мы сможем определить интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = 3x^2 - 12x.

2. Найдем критические точки, где производная равна нулю или не существует: Приравниваем производную к нулю: 3x^2 - 12x = 0, 3x(x - 4) = 0.

Это уравнение имеет два корня: x = 0 и x = 4.

3. Создадим таблицу знаков производной в интервалах между критическими точками и за пределами их: Выберем тестовые точки в каждом интервале и подставим их в производную, чтобы определить знак производной в этих интервалах:

• Если x < 0, то f'(x) = 3x^2 - 12x > 0 (так как x^2 всегда положительно и -12x всегда отрицателен).
• Если 0 < x < 4, то f'(x) = 3x^2 - 12x < 0 (так как x^2 всегда положительно и -12x всегда положителен).
• Если x > 4, то f'(x) = 3x^2 - 12x > 0 (так как оба слагаемых положительны).

4. Определим интервалы возрастания и убывания функции f(x):

• Функция f(x) возрастает на интервале (-∞, 0) и (4, +∞).
• Функция f(x) убывает на интервале (0, 4).

Таким образом, это - информация об интервалах возрастания и убывания функции f(x) = x^3 - 6x^2 + 9.