Question

Решите уравнение сводящееся к однородному (x+3y-1)dx + (x+2y+1)dy =0

Answer 1

Ответ:

это не точно. (3xy-1)dx+(2xy+1)dy=0

5xy+dx×dy=0

5xy+dxy=0

7d=0

d=7

возможно не верно, предупреждаю.

Answer 2

Данное уравнение выглядит как линейное уравнение первого порядка, и чтобы решить его, мы можем использовать метод интегрирующего множителя. Первым шагом найдем интегрирующий множитель, который умножит обе части уравнения так, чтобы они стали полными производными от одной функции.

Уравнение: (x+3y-1)dx + (x+2y+1)dy = 0

Чтобы найти интегрирующий множитель, предположим, что он имеет вид μ(x, y). Умножим обе части уравнения на μ(x, y):

μ(x, y)(x+3y-1)dx + μ(x, y)(x+2y+1)dy = 0

Теперь нам нужно найти μ(x, y), при котором левая часть станет полной производной какой-то функции. Это можно сделать, равняя коэффициенты при dx и dy:

∂(μ(x, y)(x+3y-1))/∂y = ∂(μ(x, y)(x+2y+1))/∂x

Производные берем по переменным y и x соответственно.

Решая это уравнение для μ(x, y), получим:

μ(x, y) = e^(5y)

Теперь умножим исходное уравнение на найденный интегрирующий множитель:

e^(5y)(x+3y-1)dx + e^(5y)(x+2y+1)dy = 0

Теперь это уравнение можно записать как полную производную от какой-то функции F(x, y):

dF = e^(5y)(x+3y-1)dx + e^(5y)(x+2y+1)dy

Найдем F(x, y):

F(x, y) = ∫[e^(5y)(x+3y-1)]dx + ∫[e^(5y)(x+2y+1)]dy

Для первого интеграла:

∫[e^(5y)(x+3y-1)]dx = e^(5y)(x+3y-1) ∫dx = e^(5y)(x+3y-1)x + g(y)

Для второго интеграла:

∫[e^(5y)(x+2y+1)]dy = e^(5y)(x+2y+1)/5 ∫e^(5y)dy = (e^(5y)(x+2y+1)/5) * (1/5) + h(x)

Где g(y) и h(x) - произвольные функции от y и x соответственно.

Таким образом, общее решение уравнения:

e^(5y)(x+3y-1)x + g(y) + (e^(5y)(x+2y+1)/25) + h(x) = C

Где C - произвольная постоянная.