Question

Помогите Задание 2. Решить методом интервалов: (2х−1)(х+3)(5х+2)(х−7)>0

Answer 1

(2х-1)(х+3)(5х+2)(х-7)=0

х=1/2; х=-3; х=-0,4; х=7

------(-3)-----(-0,4)------(0,5)---------(7)-------->x   найдем знаки интервалов

  +          -             +                -              +

Ответ: х∈(-∞; -3)U(-0,4; 0,5)U(7; ∞).

Answer 2

Для решения данного неравенства методом интервалов, нужно найти интервалы, на которых выражение ${(2x-1)(x+3)(5x+2)(x-7)}$ положительно.

1. Найдем корни уравнений, соответствующих нулевым значениям внутри скобок:

   • $2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$
   • $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$
   • $5x + 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{5}$
   • $x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7$

2. Отметим эти точки на числовой прямой:

luaCopy code
   -∞     -3    -2/5   1/2     7     ∞
    |------|------|------|------|------|

3. Теперь возьмем по одной точке из каждого интервала, образованного корнями, и проверим знак выражения в этой точке.

• В интервале $(-\infty, -3)$ берем точку $x = -4$:
  Выражение $(2(-4)-1)(-4+3)(5(-4)+2)(-4-7) = (-9)(-1)(-18)(-11) > 0$

• В интервале $(-3, -2/5)$ берем точку $x = -1$:
  Выражение $(2(-1)-1)(-1+3)(5(-1)+2)(-1-7) = (-3)(2)(-3)(-8) > 0$

• В интервале $(-2/5, 1/2)$ берем точку $x = 0$:
  Выражение $(2(0)-1)(0+3)(5(0)+2)(0-7) = (-1)(3)(2)(-7) < 0$

• В интервале $(1/2, 7)$ берем точку $x = 2:
  Выражение $(2(2)-1)(2+3)(5(2)+2)(2-7) = (3)(5)(12)(-5) < 0$

• В интервале $(7, \infty)$ берем точку $x = 8$:
  Выражение $(2(8)-1)(8+3)(5(8)+2)(8-7) = (15)(11)(42)(1) > 0$

Итак, мы видим, что выражение $(2x-1)(x+3)(5x+2)(x-7)$ положительно на интервалах $(-\infty, -3)$ и $(7, \infty)$. Следовательно, решением неравенства является объединение этих интервалов:

$x \in (-\infty, -3) \cup (7, \infty)$