Question

Розв 'язати тригонометричне рівняння : 4sin²x-11cos x -1=0

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

Answer 2

Давайте розв'яжемо це тригонометричне рівняння разом.

Позначимо sin(x) як s і cos(x) як c. Тоді рівняння має вигляд:

4s² - 11c - 1 = 0

Спростимо рівняння, використовуючи ідентичність sin²(x) + cos²(x) = 1:

4(1 - cos²(x)) - 11cos(x) - 1 = 0

Розпишемо подальше спрощення:

4 - 4cos²(x) - 11cos(x) - 1 = 0 -4cos²(x) - 11cos(x) + 3 = 0

Тепер ми маємо квадратне рівняння відносно cos(x). Давайте вирішимо його за допомогою квадратного кореня:

Розглянемо рівняння -4t² - 11t + 3 = 0, де t = cos(x).

Застосуємо квадратну формулу: t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a.

a = -4, b = -11, c = 3.

t = (11 ± √((-11)² - 4 * (-4) * 3)) / (2 * (-4)) t = (11 ± √(121 + 48)) / (-8) t = (11 ± √169) / (-8) t = (11 ± 13) / (-8)

Таким чином, маємо два можливі значення t:

1. t = (11 + 13) / (-8) = 24 / (-8) = -3
2. t = (11 - 13) / (-8) = -2 / (-8) = 1/4

Тепер перетворимо t назад в cos(x):

1. t = cos(x) = -3 - неможливо, оскільки значення косинуса завжди знаходиться в діапазоні [-1, 1].
2. t = cos(x) = 1/4

Тепер ми можемо знайти sin(x):

sin²(x) + cos²(x) = 1 sin²(x) + (1/4) = 1 sin²(x) = 3/4 sin(x) = ±√(3/4) = ±√3/2 = ±√3 / 2

Таким чином, маємо два можливі значення для sin(x):

1. sin(x) = √3 / 2
2. sin(x) = -√3 / 2

Отже, рішення тригонометричного рівняння 4sin²(x) - 11cos(x) - 1 = 0:

1. x = π/6 + 2πn, де n - ціле число (для sin(x) = √3 / 2)
2. x = 5π/6 + 2πn, де n - ціле число (для sin(x) = √3 / 2)
3. x = 11π/6 + 2πn, де n - ціле число (для sin(x) = -√3 / 2)
4. x = 7π/6 + 2πn, де n - ціле число (для sin(x) = -√3 / 2)

Тут n - будь-яке ціле число, яке використовується для врахування всіх можливих кутів у діапазоні 0-2π.