Question

Найдите интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума y=x^3-9x^2+15x-7

Answer 1

Пошаговое объяснение:

y=x³-9x²+15x-7

y'=3x²-18x+15

3x²-18x+15=0

x₁,₂=(18±√324-4*3*15)/2*3=(18±√144)/6=(18±12)/6

x₁=5; x₂=4/6=2/3                 +          2/3      -          5     +      

(-∞; 2/3)- ф. возрастает; (2/3;5)-ф. убывает; (5: +∞)-ф. возрастает

  y(2/3)=8/27-18/3+30/3-7=8/27-162/27+270/27-189/27= - 73/27≅-2,7 (2/3; -2,7) - т. макс.

  y(5)=125-225+75-7= - 32 (5;-32)-т. мин.

Answer 2

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции, а также точек экстремума, давайте выполним следующие шаги:

1. Найдем производную функции: $y = x^3 - 9x^2 + 15x - 7$ $y' = 3x^2 - 18x + 15$

2. Найдем критические точки, где производная равна нулю или не существует: $3x^2 - 18x + 15 = 0$ $x^2 - 6x + 5 = 0$ $(x - 5)(x - 1) = 0$ $x = 5$ или $x = 1$

3. Определим знак производной на интервалах между и за пределами критических точек:

   • В интервале $(-\infty, 1)$: Выбираем точку, например, $x = 0$. Подставляем в производную: $y' = 3(0)^2 - 18(0) + 15 = 15 > 0$. Функция возрастает.
   • В интервале $(1, 5)$: Выбираем точку, например, $x = 3$. Подставляем в производную: $y' = 3(3)^2 - 18(3) + 15 = 0$. Это меняет знак производной с плюса на минус. Функция убывает.
   • В интервале $(5, +\infty)$: Выбираем точку, например, $x = 6$. Подставляем в производную: $y' = 3(6)^2 - 18(6) + 15 = 63 > 0$. Функция возрастает.

Итак, интервалы возрастания и убывания функции:

• Возрастание: $(-\infty, 1)$ и $(5, +\infty)$
• Убывание: $(1, 5)$

4. Найдем точки экстремума: В данном случае, у нас есть минимум функции на интервале $(1, 5)$ в точке $x = 5$, так как функция переходит из убывания в возрастание.

Таким образом, точка экстремума: $(5, f(5))$ или $(5, -7)$. Это минимум функции.