Question

Решите следующее обыкновенное дифференциальное уравнение y'(x) + ay (x) = x

Answer 1

Решение на картинке.

Answer 2

Данное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка линейное и однородное с постоянными коэффициентами. Уравнение имеет вид:

y'(x) + ay(x) = x.

Для решения данного уравнения используем метод интегрирующего множителя. Сначала найдем интегрирующий множитель, который является функцией μ(x) и умножает обе стороны уравнения, чтобы сделать его интегрируемым:

μ(x) = e^(∫a dx) = e^(ax).

Теперь умножим обе стороны уравнения на интегрирующий множитель:

e^(ax) * y'(x) + ae^(ax) * y(x) = x * e^(ax).

Левую часть можно представить как производную произведения e^(ax) и y(x) согласно правилу производной произведения:

(e^(ax) * y(x))' = x * e^(ax).

Теперь найдем эту производную:

(e^(ax) * y(x))' = ∫x * e^(ax) dx.

Для интегрирования правой части уравнения используем интегрирование по частям:

∫x * e^(ax) dx = (1/a) * x * e^(ax) - ∫(1/a) * e^(ax) dx = (1/a) * x * e^(ax) - (1/a^2) * e^(ax) + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Итак, мы получили:

e^(ax) * y(x) = (1/a) * x * e^(ax) - (1/a^2) * e^(ax) + C.

Теперь разделим обе стороны на e^(ax):

y(x) = (1/a) * x - (1/a^2) + C * e^(-ax),

где C - произвольная постоянная.

Итак, общее решение данного дифференциального уравнения:

y(x) = (1/a) * x - (1/a^2) + C * e^(-ax).