Question

Найти частное решение дифференциального уравнения:s´´= 6t + 2, если s = 3 и s´= 4 при t = 1

Answer 1

$s'' = 6t + 2$

$\displaystyle s' = \int (6t + 2)\, dt = 3t^{2} + 2t + C_{1}$

$s = \displaystyle \int(3t^{2} + 2t + C_{1}) \, dt = t^{3} + t^{2} + C_{1}t + C_{2}$

Из начальных условий $s(1) = 3, \ s'(1) = 4$ имеем:

$\displaystyle \left \{ {{3 = 1^{3} + 1^{2} + C_{1} \cdot 1 + C_{2}} \atop {4 = 3 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 + C_{1} \ \ \ \ \, }} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{3 = 1 + 1 + C_{1} + C_{2}} \atop {4 = 3 + 2 + C_{1} \ \ \ \ \ \ \ }} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{C_{1} + C_{2} = 1; \ -1 + C_{2} = 1; \ C_{2} = 2} \atop {C_{1} = -1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \right.$

Частное решение:

$s_{0} = t^{3} + t^{2} -t + 2$

Ответ: $s_{0} = t^{3} + t^{2} -t + 2$

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение: s'' = 6t + 2.

Чтобы найти частное решение этого уравнения, мы должны проинтегрировать его дважды и использовать начальные условия, данное в задаче.

Интегрируем уравнение по t дважды:

1. Интегрирование первый раз: s' = ∫ (6t + 2) dt = 3t^2 + 2t + C1, где C1 - постоянная интегрирования.

2. Интегрирование второй раз: s = ∫ (3t^2 + 2t + C1) dt = t^3 + t^2 + C1t + C2, где C2 - еще одна постоянная интегрирования.

Теперь мы можем использовать начальные условия, чтобы найти значения констант C1 и C2:

По условию, когда t = 1: s = 3 и s' = 4.

Подставляем t = 1 и наши начальные значения в уравнение для s и s':

s(1) = 1^3 + 1^2 + C1 + C2 = 3, s'(1) = 3(1)^2 + 2(1) + C1 = 4.

Из второго уравнения находим C1 = 4 - 3 - 2 = -1.

Подставляем C1 обратно в первое уравнение: C2 = 3 - 1 - 1 - 1 = 0.

Таким образом, константы C1 и C2 равны соответственно -1 и 0, и частное решение дифференциального уравнения s'' = 6t + 2 с учетом начальных условий s(1) = 3 и s'(1) = 4:

s(t) = t^3 + t^2 - t.