Question

Найдите точки экстремума функции f(x)=x^3-3x^2

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

f(x)=x³-3x²

экстремумы исследуются при помощи производных

сначала найдем точки экстремума функции (критические точки)(необходимое условие их существования)

f'(x) = 0

f'(x)' = 3x²-6x

3x²-6x= 0; 3x(x-2); x₁ = 0, x₂ = 2

это точки экстремума.

теперь при помощи второй производной (достаточное условие) посмотрим, какая из этих точек минимум, а какая максимум

если в точке х

f''(x) > 0 , то точка xточка минимума функции.

если в точке x

f''(x) < 0  то точка x - точка максимума.

f''(x) =6x-6

f''(0) = -6<0 - значит точка x = 0 точка максимума функции.

f''(2) = 6>0 - значит точка x = 2 точка минимума функции.

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции $f(x) = x^3 - 3x^2$ необходимо найти её производную и решить уравнение $f'(x) = 0$.

1. Найдем производную функции $f(x)$: $f(x) = x^3 - 3x^2$ $f'(x) = 3x^2 - 6x$

2. Решим уравнение $f'(x) = 0$ для нахождения критических точек: $3x^2 - 6x = 0$ $3x(x - 2) = 0$

Отсюда получаем две возможных критических точки: $x = 0$ и $x = 2$.

3. Для определения типов точек экстремума (минимум, максимум или плато) воспользуемся второй производной. Вычислим вторую производную функции $f(x)$: $f''(x) = 6x - 6$

4. Оценим поведение второй производной в критических точках:

   • При $x = 0$: $f''(0) = 6 \cdot 0 - 6 = -6$ Так как вторая производная отрицательна, это может указывать на максимум.

   • При $x = 2$: $f''(2) = 6 \cdot 2 - 6 = 6$ Так как вторая производная положительна, это может указывать на минимум.

Итак, функция $f(x) = x^3 - 3x^2$ имеет следующие точки экстремума:

• В точке $x = 0$ возможен локальный максимум.
• В точке $x = 2$ возможен локальный минимум.