Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями:y = 2 - x^2 и y = x​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения, затем определить пределы интегрирования по осям и подсчитать интеграл площади между кривыми.

Первым шагом найдем точки пересечения:

y = 2 - x^2 y = x

Подставляя y из второго уравнения в первое, получим:

x = 2 - x^2 x^2 + x - 2 = 0

Факторизуем квадратное уравнение:

(x + 2)(x - 1) = 0

Отсюда получаем две точки пересечения: x = -2 и x = 1. Подставив их в уравнение y = x, получаем соответствующие значения y: y = -2 и y = 1.

Таким образом, фигура ограничена точками (-2, -2), (1, 1) и графиками функций y = 2 - x^2 и y = x.

Чтобы вычислить площадь этой фигуры, необходимо найти интеграл разности между верхней и нижней кривыми в пределах их пересечения (-2 ≤ x ≤ 1):

Площадь = ∫[a, b] (верхняя функция - нижняя функция) dx

Подставляя функции, получаем:

Площадь = ∫[-2, 1] ((2 - x^2) - x) dx

Вычислим этот интеграл:

Площадь = [2x - (x^3/3) - (x^2/2)]|[-2, 1] = [2(1) - (1^3/3) - (1^2/2)] - [2(-2) - ((-2)^3/3) - ((-2)^2/2)] = [2 - 1/3 - 1/2] - [-4 + 8/3 - 2] = [6/6 - 2/6 - 3/6] - [-12/6 + 8/6 - 12/6] = (1/6) - (-16/6) = 17/6

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 2 - x^2 и y = x, равна 17/6 или около 2.8333.