Question

Решите дифференциальное уравнение: y''-4y'-5y=0

Answer 1

y''-4y'-5y=0

${k}^{2} - 4k - 5 = 0 \\ (k - 5)(k + 1) = 0 \\ k1 = 5 \\ k2 = - 1$

К имеет два корня, значит решение дифференциального уравнения имеет вид:

$y = c1 \times {e}^{5x} + c2 \times {e}^{ - x}$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения, предполагая, что решение имеет вид y = e^(rx), подставим это предположение в уравнение:

y'' - 4y' - 5y = 0

Получим:

r^2 * e^(rx) - 4r * e^(rx) - 5 * e^(rx) = 0

Разделим обе стороны на e^(rx):

r^2 - 4r - 5 = 0

Это квадратное уравнение для r. Решим его с помощью квадратного корня:

r = (4 ± √(4^2 - 4 * 1 * -5)) / 2 * 1 r = (4 ± √(16 + 20)) / 2 r = (4 ± √36) / 2 r = (4 ± 6) / 2

Таким образом, получаем два корня: r1 = 5 r2 = -1

Решение дифференциального уравнения будет иметь вид:

y(x) = c1 * e^(5x) + c2 * e^(-x)

где c1 и c2 - произвольные постоянные, которые могут быть определены из начальных или граничных условий, если они заданы.