Question

Автобус двигается со скоростью v=4t м/с. Какой путь пройдет автобус за 12 секунд от начала движения?(интеграл)

Answer 1

Решение:

Изменение скорости автобуса можно представить в виде графика (смотрите ниже).

Тогда пройденный путь будет площадью прямоугольного треугольника (на чертеже выделен цветом), ограниченного в данном случае осью абсцисс, прямыми $v=4t$ (м/с) и $t=12$ (с).

Для того, чтобы узнать его площадь, можно взять интеграл, как рекомендуется в задании:

$\displaystyle \int\limits^{12}_0 {4t} \, dt = \Big (2t^2 \Big ) \; \Big | ^{12}_0 = \Big (2 \cdot 12^2 \Big ) - \Big (2 \cdot 0^2 \Big ) = 2 \cdot 12^2 = 2 \cdot 144 = \underline { 288 }$

Но можно ограничиться формулой площади прямоугольного треугольника (половина произведения длин катетов). Один катет которого равен $12$, а другой - $12 \cdot 4 = 48$:

$\displaystyle S = \frac{12 \cdot 48}{2} = \underline{288}$

Но так или иначе, получаем, что автобусом будет пройдено $288$ метров.

Ответ: 288 метров.  

Answer 2

Для расчета пути, который пройдет автобус, используется формула для вычисления пути по скорости и времени при переменной скорости:

$s = \int v(t) \, dt$

В данном случае скорость автобуса задана как функция времени: $v(t) = 4t \, \text{м/с}$.

Интегрируя скорость по времени, мы получим путь $s$:

$s = \int 4t \, dt = 2t^2 + C$

где $C$ - это постоянная интегрирования.

Для определения постоянной интегрирования $C$, нам нужно знать начальные условия, то есть значение пути в начальный момент времени $t = 0$. В данном случае, начальное значение пути $s(0) = 0$, так как автобус начинает движение с места.

Теперь мы можем подставить значение $t = 12$ секунд (время, за которое нужно найти путь) и рассчитать путь:

$s = 2 \cdot (12^2) + C = 288 + C$

Так как начальное значение пути $s(0) = 0$, то $C = 0$, и окончательное значение пути будет:

$s = 288 \, \text{м}$

Таким образом, автобус пройдет 288 метров за 12 секунд, начиная с покоя.