Question

Решите пож y=x^3+6x^2+9x 1) Найти область определения функцин. 2) Найти производную. 3) Найти стационарные точки. 4) Определить промежутки возрастания и убывания. 5) Найти точки экстремума и значения функции в этих точках. Результаты исследования удобно записать в виде таблицы. Для более точного построения графика можно найти точки пересечения с осями координат. По данным исследованиям построить график.

Answer 1

Как то так! Удачи!!!

Answer 2

Конечно, я помогу вам выполнить это исследование функции $y = x^3 + 6x^2 + 9x$. Давайте поэтапно выполним каждый пункт и составим таблицу для удобства.

1. Область определения

Функция не имеет ограничений на область определения, поскольку является многочленом. Таким образом, областью определения является весь диапазон действительных чисел: $\mathbb{R}$.

2. Производная

Для нахождения производной функции $y = x^3 + 6x^2 + 9x$, нужно применить правила дифференцирования для многочленов: $y' = 3x^2 + 12x + 9.$

3. Стационарные точки (критические точки)

Стационарные точки - это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Для нашей функции производная $y'$ равна $3x^2 + 12x + 9$, и её корни можно найти, решив уравнение: $3x^2 + 12x + 9 = 0.$

Решение этого квадратного уравнения даёт один корень: $x = -1$. Следовательно, у нас есть одна стационарная точка при $x = -1$.

4. Промежутки возрастания и убывания

Для определения промежутков возрастания и убывания необходимо анализировать знак производной. Давайте рассмотрим знаки производной на разных интервалах:

1. При $x < -1$, производная $y'$ отрицательна, следовательно, функция убывает на этом интервале.
2. При $-1 < x$ производная $y'$ положительна, так что функция возрастает на этом интервале.

5. Точки экстремума и значения функции

Так как у нас есть одна стационарная точка при $x = -1$, это может быть точка экстремума. Чтобы узнать, является ли она максимумом или минимумом, можно проанализировать знаки второй производной.

Вторая производная $y''$ равна: $y'' = 6x + 12.$

Подставляя $x = -1$, получаем $y'' = 6 \cdot (-1) + 12 = 6$, что положительно. Это означает, что у нас есть локальный минимум при $x = -1$. Значение функции в этой точке: $y(-1) = (-1)^3 + 6 \cdot (-1)^2 + 9 \cdot (-1) = -2.$

Теперь мы можем составить таблицу с результатами исследования:

Пункт	Результат
Область определения	$\mathbb{R}$
Производная	$y' = 3x^2 + 12x + 9$
Стационарные точки	$-1$
Промежутки возрастания	$(-1, \infty)$
Промежутки убывания	$(-\infty, -1)$
Точки экстремума	$(-1, -2)$

Теперь мы можем построить график функции. Я также учту точки пересечения с осями координат:

На графике видно, что у функции есть локальный минимум в точке $(-1, -2)$, а также она убывает на интервале $(-\infty, -1)$ и возрастает на интервале $(-1, \infty)$.