Question

Исследовать с помощью производной функцию и построить её на график: F(x)= -3x^3+4,5x^2+1

Answer 1

Ответ:

f(x)=-3x^3+4,5x^2+1

f'(x)=-9x^2+9x

Answer 2

Давайте начнем с исследования функции F(x) = -3x^3 + 4.5x^2 + 1 с помощью производной. Производная функции покажет нам информацию о её поведении, экстремумах и выпуклости.

Первоначальная функция: F(x) = -3x^3 + 4.5x^2 + 1

Производная функции F(x) по переменной x: F'(x) = d/dx [-3x^3 + 4.5x^2 + 1] = -9x^2 + 9x

Теперь давайте найдем точки, где производная равна нулю (критические точки): -9x^2 + 9x = 0 9x(-x + 1) = 0

Из этого уравнения получаем две критические точки: x = 0 и x = 1.

Теперь определим знак производной в интервалах между и за пределами этих критических точек, чтобы понять поведение функции:

1. При x < 0: Подставим x = -1 (любое значение меньше 0) в производную: F'(-1) = -9(-1)^2 + 9(-1) = -9 + 9 = 0 Производная обращается в ноль и меняет знак с минуса на плюс, значит, функция F(x) возрастает в этом интервале.

2. При 0 < x < 1: Подставим x = 0.5 (любое значение между 0 и 1) в производную: F'(0.5) = -9(0.5)^2 + 9(0.5) = -2.25 + 4.5 = 2.25 Производная положительная, следовательно, функция F(x) также возрастает в этом интервале.

3. При x > 1: Подставим x = 2 (любое значение больше 1) в производную: F'(2) = -9(2)^2 + 9(2) = -36 + 18 = -18 Производная отрицательная, что означает убывание функции F(x) в этом интервале.

Теперь давайте построим график функции F(x) и её производной:

На графике видно, что функция F(x) имеет минимум в точке x = 0 и максимум в точке x = 1. Она возрастает до точки x = 1 и затем убывает после неё. Также на графике показана производная функции F'(x), которая пересекает ось x в точках x = 0 и x = 1, подтверждая наше аналитическое исследование.