Question

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: y=x^2-6x+9, y=-x+5.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

у₁ = -х+5; у₂=х²-6х+9

находим точки пересечения

-х+5 = х²-6х+9 ⇒ х²-5х+4=0 ⇒   х₁ = 1, х₂=4

$S = \int\limits^4_{1} {(-x+5-x^{2}+6x-9) } \, dx =$

$= \int\limits^4_1 {(-x^{2}+5x-4)} \, dx = - \int\limits^4_1 {x^{2} } \, dx +5\int\limits^4_1 {x} \, dx - 4\int\limits^4_1 {} \, dx =$

=(- x³/3) Ι₁⁴ +5x₃ /2 Ι₁⁴ -4x Ι₁⁴ = -21 +75/2 -12 = 9/2

Answer 2

Щоб обчислити площу фігури, обмеженої двома кривими, треба визначити точки їх перетину та обчислити інтеграл від різниці функцій у межах цих точок.

Спершу знайдемо точки перетину обох кривих:

y = x^2 - 6x + 9 y = -x + 5

Прирівняємо їх:

x^2 - 6x + 9 = -x + 5

Перенесемо всі члени у ліву частину:

x^2 - 5x + 4 = 0

Це квадратне рівняння можна розв'язати через факторизацію:

(x - 4)(x - 1) = 0

Звідси отримуємо дві значущі точки перетину: x = 1 та x = 4.

Після знаходження точок перетину, можна обчислити площу під кривими за допомогою інтегралу. Ваша фігура обмежена двома кривими та проміжком [1, 4] по вісі x.

Площа під кривою y = x^2 - 6x + 9 знаходиться за формулою визначеного інтегралу:

S1 = ∫(1 до 4) (x^2 - 6x + 9) dx

Площа під кривою y = -x + 5 знаходиться за аналогічною формулою:

S2 = ∫(1 до 4) (-x + 5) dx

Загальна площа фігури буде різницею цих площ:

Площа = |S1 - S2|

Нехай я розрахую це за вами:

Спершу обчислимо площі S1 та S2:

S1 = ∫(1 до 4) (x^2 - 6x + 9) dx = [x^3/3 - 3x^2 + 9x] (від 1 до 4) = (64/3 - 48 + 36) - (1/3 - 3 + 9) = 52/3

S2 = ∫(1 до 4) (-x + 5) dx = [-x^2/2 + 5x] (від 1 до 4) = (-8/2 + 20) - (-1/2 + 5) = 17/2

Зараз обчислимо загальну площу:

Площа = |S1 - S2| = |52/3 - 17/2| = |104/6 - 51/6| = 53/6

Таким чином, площа фігури, обмеженої заданими кривими, дорівнює 53/6 квадратних одиниць.