Question

При делении a на 5 ,в остатке получается 3 ,тогда ((а^2( а в квадрате) +1)) делится на 5. Докажите . Пожалуйста

Answer 1

Ответ:

a = 5k+3, k∈N, a²+1=25k²+30k+9+1=25k²+30k+10 - сумма состоит из чисел, которые делятся на 5 без остатка чтд

Итоговый квадрат + 1 = 5(k²+6k+2) - делится на 5

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Пусть у нас есть некоторое число a, такое что a ≡ 3 (mod 5), то есть при делении a на 5 в остатке получается 3. Мы должны доказать, что (a^2 + 1) делится на 5.

1. Базовый шаг: При a = 3, (3^2 + 1) = 10, что делится на 5 без остатка.

2. Предположение индукции: Пусть для некоторого k (k ≥ 3) выполняется, что при a = 5k + 3 (то есть a ≡ 3 (mod 5)) выполняется (a^2 + 1) делится на 5.

3. Индукционный шаг: Рассмотрим a = 5(k+1) + 3 = 5k + 8. Тогда (a^2 + 1) = ((5k + 8)^2 + 1) = (25k^2 + 80k + 64 + 1) = (25k^2 + 80k + 65). Мы видим, что 25k^2 + 80k + 65 можно записать как 5(5k^2 + 16k + 13), что является произведением числа 5 и некоторого целого числа (5k^2 + 16k + 13). Значит, (a^2 + 1) делится на 5.

Исходя из базового шага и предположения индукции, мы доказали, что если a ≡ 3 (mod 5), то (a^2 + 1) делится на 5.