Question

Найти общее решение дифференциального уравнения (1+y^2)dx=(1+x^2)dy

Answer 1

Ответ:

$\[\arctan x - \arctan y = C\]$

Пошаговое объяснение:

По условию

$\[\left( {1 + y^2 } \right)dx = \left( {1 + x^2 } \right)dy\]$

Простейшее дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. y в одну сторону, x в другу (при этом дифференциалы должны быть только в числителе)

$\[\frac{1}{{1 + x^2 }}dx = \frac{1}{{1 + y^2 }}dy\]$

Проинтегрируем обе части выражения

$\[\int {\frac{1}{{1 + x^2 }}dx} = \int {\frac{1}{{1 + y^2 }}dy} \Rightarrow \arctan x - \arctan y = C\]$

Answer 2

Для того чтобы найти общее решение данного дифференциального уравнения, давайте рассмотрим его шаг за шагом.

Уравнение: (1+y^2)dx = (1+x^2)dy

Сначала выразим dy и dx:

dy = (1+y^2)/(1+x^2)dx

Теперь разделим переменные и проинтегрируем обе стороны:

∫(1+y^2)/(1+x^2) dx = ∫dy

Для интегрирования левой стороны можно воспользоваться частными дробями:

(1+y^2)/(1+x^2) = 1 - (x^2 - y^2)/(1+x^2)

Теперь подставим это обратно в интеграл:

∫(1 - (x^2 - y^2)/(1+x^2)) dx = ∫dy

Интегралы слева и справа вычисляем:

x - ∫(x^2 - y^2)/(1+x^2) dx = y + C

Для интеграла в числителе дроби можно сделать замену переменной, например, x = tan(θ):

dx = sec^2(θ) dθ x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = (x+y) * sec^2(θ) * (tan^2(θ) - 1) = (x+y) * sec^2(θ) * (-sec^2(θ)) = -(x+y) * sec^4(θ)

Теперь подставим это в интеграл:

x - ∫[-(x+y) * sec^4(θ)] / (1 + tan^2(θ)) sec^2(θ) dθ = y + C

Упростим выражение:

x + ∫(x+y) * sec^2(θ) dθ = y + C

∫(x+y) * sec^2(θ) dθ = y - x + C

Сделаем обратную замену x = tan(θ):

∫(tan(θ)+y) * sec^2(θ) dθ = y - tan(θ) + C

∫(sec(θ) * sin(θ) + y) sec^2(θ) dθ = y - tan(θ) + C

∫(sin(θ) + y * sec^2(θ)) dθ = y - tan(θ) + C

Интегрируем:

• cos(θ) + y * tan(θ) + C = y - tan(θ) + C

Теперь вернемся к переменным x и y, используя x = tan(θ):

• cos(arctan(x)) + y * x + C = y - x + C

cos(arctan(x)) = √(1 + x^2)

√(1 + x^2) + y * x + C = y - x + C

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:

√(1 + x^2) + y * x = y - x + C

Это выражение задает общее решение уравнения (1+y^2)dx = (1+x^2)dy.