Question

Сумма третьего, седьмого, восемнадцатого члена арифметической прогрессии равна 48. Найти сумму первых 20 членов этой прогрессии

Answer 1

1) a3+a7+a18 = 48

а1+2d+a1+6d+a1+17d = 48

3×a1 + 25d = 48

2) S 20 = (3×a1 +25d)/2×20 = 24×10 = 240.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для суммы членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n),$

где $S_n$ - сумма первых $n$ членов прогрессии, $a_1$ - первый член прогрессии, $a_n$ - $n$-й член прогрессии.

Известно, что сумма третьего, седьмого и восемнадцатого членов равна 48:

$a_3 + a_7 + a_{18} = 48.$

Также дано, что это является арифметической прогрессией. В арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$, где $d$ - разность между членами прогрессии.

Теперь мы можем записать уравнение для суммы третьего, седьмого и восемнадцатого членов:

$(a_1 + 2d) + (a_1 + 6d) + (a_1 + 17d) = 48.$

Упростим это уравнение:

$3a_1 + 25d = 48.$

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными $a_1$ и $d$:

3a_1 + 25d &= 48, \\ a_n &= a_1 + (n - 1)d. \end{align*} \] Давайте решим первое уравнение относительно \( a_1 \): \[ a_1 = \frac{48 - 25d}{3}. \] Теперь мы можем подставить это значение \( a_1 \) во второе уравнение: \[ a_n = \frac{48 - 25d}{3} + (n - 1)d. \] Сумма первых 20 членов арифметической прогрессии будет: \[ S_{20} = \frac{20}{2} \cdot \left( \frac{48 - 25d}{3} + \frac{19d}{3} \right). \] Умножим и упростим: \[ S_{20} = 10 \cdot \left( \frac{48 - 25d + 19d}{3} \right) = \frac{230d + 480}{3} = 76d + 160. \] Таким образом, сумма первых 20 членов арифметической прогрессии зависит от значения разности \( d \). Если значение \( d \) известно, мы можем найти численное значение суммы.