Question

5. Найти сумму первых четырех членов убывающей арифметической прогрессии, если сумма первого и седьмого ее членов равна 30, а произведение третьего и пятого ее членов равно 216.

Answer 1

Ответ:

78.

Пошаговое объяснение:

1) По условию а₁ + а₇ = 30, т.е.

а₁ + а₁ + 6d = 30

2а₁ + 6d = 30

а₁ + 3d = 15

а₄ = 15.

2) а₃ = а₄  - d = 15 - d;  а₅ = а₄  + d = 15 + d.

Зная, что произведение третьего и пятого  членов прогрессии равно 216, составим и решим уравнение:

(15 - d)(15 + d) = 216

225 - d² = 216

d² = 225 - 216  = 9

Так как дана убывающая арифметическая прогрессия, то d < 0, тогда d = - √9 = - 3.

3)а₄ = 15, а₃ = 15 - (-3) = 18, а₂ = 18 - (-3) = 21, а₁ = 21 - (-3) = 24.

S₄ = 24 + 21 + 18 + 15 = 45 + 33 = 78.

Answer 2

Обозначим первый член арифметической прогрессии как "a", а разность между членами прогрессии как "d". Тогда первые четыре члена будут иметь вид:

1-й член: a 2-й член: a - d 3-й член: a - 2d 4-й член: a - 3d

Известно, что сумма первого и седьмого членов равна 30:

a + (a - 6d) = 30

Упростим это уравнение:

2a - 6d = 30 a - 3d = 15 a = 3d + 15 ...(Уравнение 1)

Также известно, что произведение третьего и пятого членов равно 216:

(a - 2d) * (a - 4d) = 216

Раскроем скобки и упростим уравнение:

a^2 - 6ad + 8d^2 = 216 a^2 - 6ad + 8d^2 - 216 = 0 a^2 - 6ad + (3d)^2 - 216 = 0 (a - 3d)^2 = 216 a - 3d = ±√216

Так как члены арифметической прогрессии обычно являются целыми числами, выберем положительное значение:

a - 3d = √216 a - 3d = 6√6 ...(Уравнение 2)

Теперь мы имеем систему из двух уравнений (Уравнение 1 и Уравнение 2), которую мы можем решить.

Уравнение 1: a = 3d + 15 Уравнение 2: a - 3d = 6√6

Подставим значение a из Уравнения 1 в Уравнение 2:

(3d + 15) - 3d = 6√6 15 = 6√6 √6 = 15/6 √6 = 2.5

Теперь, используя значение √6, найдем a и d:

a = 3d + 15 a = 3 * 2.5 + 15 a = 7.5 + 15 a = 22.5

Теперь мы можем найти значение d:

a - 3d = 6√6 22.5 - 3d = 6 * 2.5 22.5 - 3d = 15 -3d = 15 - 22.5 -3d = -7.5 d = 2.5

Таким образом, первый член (a) равен 22.5, а разность (d) равна 2.5. Теперь мы можем найти сумму первых четырех членов:

Сумма = 4 * (Средний член) Сумма = 4 * (a + (a - d) + (a - 2d) + (a - 3d)) Сумма = 4 * (22.5 + 20 + 17.5 + 15) Сумма = 4 * 75 Сумма = 300

Итак, сумма первых четырех членов убывающей арифметической прогрессии равна 300.