Question

Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=-x^2+9 и y=0 (предварительно сделав рисунок).

Answer 1

Ответ:

36

Пошаговое объяснение:

Первый способ:$S = \int\limits^3_{-3} {(-x^{2} + 9)} \, dx = (-\frac{x^{3}}{3} + 9x) |^{3}_{-3} = (-\frac{3^{3}}{3} + 9\cdot 3) - (-\frac{(-3)^{3}}{3} + 9\cdot (-3)) = (-9 + 27) - (9-27) = 18 - (-18) = 18 + 18 = 36$Второй способ:

Так как график квадратичной функции симметричен относительно оси Oy, то площадь всей фигуры можно найти как удвоенную площадь одной из половин, например правой:

$S =2 \cdot \int\limits^3_{0} {(-x^{2} + 9)} \, dx = 2 \cdot (-\frac{x^{3}}{3} + 9x) |^{3}_{0} = 2\cdot ((-\frac{3^{3}}{3} + 9\cdot 3) - (-\frac{0^{3}}{3} + 9\cdot 0)) = 2 \cdot ((-9 + 27) - 0)= 2 \cdot 18 = 36$

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = -x^2 + 9 и y = 0, нужно найти точки их пересечения, а затем найти площадь между этими двумя кривыми.

Сначала найдем точки пересечения, где y = -x^2 + 9 пересекает y = 0:

0 = -x^2 + 9 x^2 = 9 x = ±3

Таким образом, точки пересечения находятся при x = -3 и x = 3.

Теперь мы можем нарисовать графики данных функций:

diffCopy code
   |
9  |            ***
   |          *     
   |        *       
   |      *         
   |    *           
   |  *             
   |*               
---|-----------------
  -3  0   3   6

Теперь мы видим, что фигура ограничена кривой y = -x^2 + 9 сверху и осью x снизу. Чтобы найти площадь этой фигуры, нужно вычислить определенный интеграл:

Площадь = ∫[a, b] (-x^2 + 9) dx, где a = -3 и b = 3.

Подставляем в интеграл и интегрируем:

Площадь = ∫[-3, 3] (-x^2 + 9) dx = [-x^3/3 + 9x] [-3, 3] = [-(3^3)/3 + 93] - [-(3^3)/3 + 9(-3)] = [-27 + 27] - [-27 - 27] = 54

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривой y = -x^2 + 9 и осью x, равна 54 квадратным единицам.