Question

Решить дифференциальное уравнение (2x+1)dx-6ydy=0 и найти его частное решение, удовлетворяющее условиям: при x=1 y=2.

Answer 1

Ответ:

$y=\sqrt{\frac{x^{2}+x+10 }{3} }$

Пошаговое объяснение:

$(2x+1)dx-6ydy=0$

$(2x+1)dx=6ydy$

$\int\limits{(2x+1)} \, dx=\int\limits{(6y)}\, dy$

$x^{2} +x+C_{1} =3y^{2}+C_{2}$

$3y^{2} =x^{2} +x+C_{1}-C_{2}$ ; $C_{1}-C_{2}=C$

$3y^{2} =x^{2} +x+C$

$y^{2} =\frac{x^{2} +x+C}{3}$

$\sqrt{y^{2}} =\sqrt{\frac{x^{2} +x+C}{3}}$

$|y| =\sqrt{\frac{x^{2} +x+C}{3}}$

Отсюда получаем два решения:

$y =\sqrt{\frac{x^{2} +x+C}{3}}}$

$y =-\sqrt{\frac{x^{2} +x+C}{3}}}$

Подставляем  в них $x=1$ и $y=2$  и решаем полученные уравнения относительно константы $C$:

$2=\sqrt{\frac{1^{2} +1+C}{3} }$

$2^{2} =\sqrt{\frac{1^{2} +1+C}{3} } ^{2}$

$4=\frac{2+C}{3}$

$12=2+C$

$C=10$ ; Тогда наша функция принимает вид:

$y=\sqrt{\frac{x^{2}+x+10 }{3} }$

Второе уравнение решений не имеет, поэтому ответ:

$y=\sqrt{\frac{x^{2}+x+10 }{3} }$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение выглядит следующим образом:

(2x + 1)dx - 6ydy = 0

Для решения данного уравнения мы можем использовать метод разделяющихся переменных. Сначала выразим уравнение в виде:

(2x + 1)dx = 6ydy

Теперь разделим обе стороны на соответствующие переменные:

(2x + 1) / 6y dx = dy

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫(2x + 1) / 6y dx = ∫dy

(1/6) ∫(2x + 1) / y dx = ∫dy

(1/6) ∫(2x/y + 1/y) dx = y + C

Теперь проинтегрируем левую сторону:

(1/6) * (2 * ∫x/y dx + ∫1/y dx) = y + C

(1/6) * (2 * ln|y| + ln|y|) = y + C

(1/6) * (3 * ln|y|) = y + C

ln|y| = 6y + C

Теперь применим экспоненциальную функцию к обеим сторонам:

|y| = e^(6y + C)

Здесь e^C - это некоторая константа, которую мы можем заменить на K:

|y| = Ke^(6y)

Теперь учтем начальные условия: при x = 1, y = 2. Подставим эти значения:

|2| = K * e^(6 * 2)

2 = K * e^12

Таким образом, K = 2 / e^12.

Итак, частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее условиям при x = 1, y = 2:

|y| = (2 / e^12) * e^(6x)

Учитывая, что выражение |y| всегда положительно, мы можем убрать модуль:

y = (2 / e^12) * e^(6x)