Question

У параллелепипеда три грани имеют площади 3 , 4 и 7 см².Чему равен его объём?

Answer 1

Ответ:

2$\sqrt{21}$ см^3

Пошаговое объяснение:

Пусть стороны равны х, у, z. Тогда

ху=3

уz=4

хz=7

ху*уz*хz=3*4*7=84

$x^{2}$$y^{2}$$z^{2}$=84

V=xyz=$\sqrt{84}$=2$\sqrt{21}$ см^3

Answer 2

Обозначим стороны параллелепипеда как $a$, $b$ и $c$. Площади граней равны 3, 4 и 7 квадратных сантиметров.

Известно, что площадь поверхности параллелепипеда складывается из площадей его граней:

$2ab + 2ac + 2bc = 3 + 4 + 7$

Теперь мы знаем систему уравнений:

2ab + 2ac + 2bc &= 14 \\ ab + ac + bc &= 7 \quad \text{(1)} \end{align*}\] Чтобы найти объём параллелепипеда, мы можем использовать следующую формулу: \[V = abc\] Теперь наша цель - найти значения \(a\), \(b\) и \(c\) и, соответственно, объём \(V\). У нас есть система уравнений, в которой два из трёх уравнений уже известны: \[\begin{align*} ab + ac + bc &= 7 \quad \text{(1)} \\ ab &= 3 \quad \text{(известная площадь грани)} \\ ac &= 4 \quad \text{(известная площадь грани)} \\ bc &= 7 \quad \text{(известная площадь грани)} \end{align*}\] Мы можем найти значения \(a\), \(b\) и \(c\) разделив известные значения площадей на соответствующие стороны: \[\begin{align*} a &= \frac{ab}{b} = \frac{3}{\sqrt{7}} \\ b &= \frac{ac}{a} = \frac{4}{\sqrt{3}} \\ c &= \frac{bc}{b} = \frac{7}{\sqrt{3}} \end{align*}\] Теперь мы можем найти объём \(V = abc\): \[V = \frac{3}{\sqrt{7}} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{84}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{84}{\sqrt{7} \cdot 3} = \frac{28}{\sqrt{7}} = 28 \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} = 4 \sqrt{7}\] Итак, объём параллелепипеда равен \(4 \sqrt{7}\) кубическим сантиметрам.