Question

Помогите пожалуйста Найти неопределенный интеграл. ∫xdx/(2x^4+5)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение: ∫xdx/(2x⁴+5) =∫xdx/2(x⁴+2,5) =2∫d(x²)/2((x²)²+(√2,5)²) = ∫d(x²)/((x²)²+(√2,5)²) =( 1/√2,5) ·arctg (x²/√2,5)+C

Answer 2

Конечно, я помогу вам найти неопределенный интеграл данной функции. Для интегрирования ∫(x / (2x^4 + 5)) dx, мы можем воспользоваться методом частичных дробей. Вот как это делается:

1. Разложим дробь на простые дроби:

   scssCopy code
   x / (2x^4 + 5) = A / x + (Bx + C) / (2x^2 + 1)
   

2. Умножим обе стороны на общий знаменатель, чтобы избавиться от дроби:

   scssCopy code
   x = A(2x^2 + 1) + (Bx + C)x
   

3. Раскроем скобки:

   cssCopy code
   x = 2Ax^2 + A + Bx^2 + Cx
   

4. Сгруппируем одинаковые степени x:

   cssCopy code
   (2A + B)x^2 + Cx + A = x
   

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, мы получаем систему уравнений:

scssCopy code
2A + B = 0   (коэффициент при x^2)
C = 1         (коэффициент при x)
A = 0         (свободный член)

5. Решим систему уравнений:

   makefileCopy code
   A = 0
   B = -2A = 0
   C = 1
   

6. Теперь мы можем записать исходную дробь в виде суммы простых дробей:

   scssCopy code
   x / (2x^4 + 5) = (Bx + C) / (2x^2 + 1) = x / (2x^2 + 1)
   

7. Проинтегрируем полученное выражение:

   scssCopy code
   ∫(x / (2x^4 + 5)) dx = ∫(x / (2x^2 + 1)) dx
   

8. Замена переменной: $u = 2x^2 + 1$, $du = 4x dx$, $x dx = (1/4) du$:

   bashCopy code
   = (1/4) ∫(1/u) du
   = (1/4) ln|u| + C
   = (1/4) ln|2x^2 + 1| + C
   

Итак, окончательный ответ:

scssCopy code
∫(x / (2x^4 + 5)) dx = (1/4) ln|2x^2 + 1| + C

где $C$ - это постоянная интегрирования.