Question

Найти общее решение дифференциального уравненияy"-18y'+81y=0​

Answer 1

Ответ: y=C1*e^(9*x)+С2*x*e^(9*x).

Пошаговое объяснение:

Перед нами - однородное ЛДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения составляем характеристическое уравнение (ХУ):

k²-18*k+81=(k-9)²=0. Оно имеет действительные и притом равные корни k1=k2=9, поэтому общее решение уравнения таково: y=C1*e^(9*x)+С2*x*e^(9*x).

Answer 2

Для нахождения общего решения данного дифференциального уравнения, мы сначала найдём характеристическое уравнение, а затем воспользуемся его корнями.

Характеристическое уравнение получается заменой y на e^(rx) в дифференциальном уравнении:

r^2 - 18r + 81 = 0

Это квадратное уравнение, и мы можем его решить, используя дискриминант:

D = (-18)^2 - 4 * 1 * 81 = 324 - 324 = 0

Так как дискриминант равен нулю, у нас есть два одинаковых действительных корня:

r1 = r2 = 9

Следовательно, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y(x) = C1 * e^(9x) + C2 * x * e^(9x)

где C1 и C2 - произвольные постоянные.