Question

Найти массу круговой пластинки радиуса R, плотность которой в каждой точке равна расстоянию этой точки от контура круга.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Меняем

ρ = dM/dS, S = πR²-π(R-x)²=2πRx-πx², x - расстояние от контура

dS = (2πR-2πx)dx

Answer 2

Для нахождения массы круговой пластинки радиуса R с такой особой плотностью, нужно выполнить следующие шаги:

1. Разбить пластинку на бесконечно маленькие элементы поверхности (дифференциальные площади) и выразить массу каждого элемента как произведение его плотности на его площадь.

2. Интегрировать массу по всей площади круга, чтобы найти общую массу.

Для начала, давайте найдем выражение для плотности в зависимости от расстояния r от центра круга. Заметим, что плотность равна расстоянию от точки до контура круга. Плотность в каждой точке будет равна $\rho(r) = r$.

Теперь мы можем записать дифференциальную массу dM элемента площади dA в виде $dM = \rho(r) \cdot dA$.

Дифференциальная площадь dA равна $dA = 2\pi r \cdot dr$, где $dr$ - бесконечно маленькое изменение радиуса.

Теперь подставим выражение для $\rho(r)$ и $dA$ в формулу для дифференциальной массы: $dM = r \cdot 2\pi r \cdot dr$

Интегрируя это выражение по радиусу от 0 до R, мы найдем общую массу пластинки: $M = \int_{0}^{R} r \cdot 2\pi r \cdot dr$

Вычислим этот интеграл: $M = 2\pi \int_{0}^{R} r^2 \cdot dr$

$M = 2\pi \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{R}$

$M = 2\pi \left( \frac{R^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right)$

$M = \frac{2}{3} \pi R^3$

Итак, масса круговой пластинки радиуса R с указанной плотностью равна $\frac{2}{3} \pi R^3$.